Lettre touchant le cycle harmonique

Lettre de Mr. Huygens à l’Auteur touchant le Cycle Harmonique

(Lettre concernant le cycle harmonique », tirée de ‘Histoire des Ouvrages des Sçavans’ (Henri Basnage de Beauval), Rotterdam, octobre 1691, pp. 78-88.)

Je vous envoye une remarque nouvelle en matiere de Musique. Elle regarde les premiers fondemens de cette science, c’est-à-dire la determination des tons que l’on observe dans le chant, & dans la fabrique des Instruments. Ceux qui ont un peu étudié cette partie de la Theorie savent ce que c’est, qu’on apelle le Temperament qui modere ces tons, & combien il est necessaire dans l’accord des tuyaux d’Orgue ou des cordes du Clavecin. Les plus celebres auteurs, comme Zarlin & Salinas, en parlent comme d’une des plus belles choses, & des plus utiles qu’on pût trouver dans la Musique, & se disputent à qui des deux est l’honneur de l’avoir examiné le premier, & reglé par raison & demonstration mathematique; car devant eux l’experience & la necessité l’avoient dêjà introduit en quelque maniere; sans qu’on en fût pourtant la vraye mesure ni la methode. C’est l’invention de ce Temperament, qui a fait negliger avec raison toutes les divisions des Tetrachordes & du Diapason des Anciens, la plûpart absurdes & de nul usage pour la composition à plusiers parties; & c’est par elle que nôtre Systême des tons est plus abondant en consonances, & plus selon la nature du chant que n’étoient les leurs. Je supose icy que l’on fait des proportions, dans lesquelles consistent les consonances parfaites; savoir que la Quinte s’entend, quand après avoir fait sonner la corde entiere, on touche ensuite ses deux tiers; ou bien que la proportion qui produit cette consonance est celle de 3 à 2. Celle de la Quarte, de 4 à 3; de la Tierce majeure, 5 à 4; de la Tierce mineure, 6 à 5; de la Sexte majeure, 5 à 3; de la Sexte mineure, 8 à 5. Et quant au Temperament, ces mêmes Auteurs que je viens d’alleguer nous aprennent, que pour l’apliquer aux instrumens, la consonance de la Quinte doit être diminuée de ce qu’on apelle le quart de Comma, qui est si peu, que l’oreille à peine aperçoit cette diminution, & n’en est nullement incommodée; le Comma entier étant le raport des tons de la corde entiere contre elle même racourcie seulement de 1/81. Il s’ensuit de là, que la Quarte est augmentée de cette même petite quantité. La Tierce mineure y est de même diminuée de 1/4 de Comma, & par consequent la Sexte majeure augmentée d’autant; mais la Tierce majeure y demeure dans sa perfection; & par consequent aussi la Sexte mineure.
C’est suivant ces mesures des consonaces, qu’on regle tous les tons des instrumens, tant les Diatoniques, que les Chromatiques, qu’on y a ajoûtez, & même les tons Enarmoniques, lors qu’on en met pour rendre les jeux plus complets.
Or la remarque que j’ay faite, c’est que si on divise l’Octave en 31 intervalles égaux, ce qui se fait en cherchant 30 longuers moyennes proportionelles entre toute une corde, (qu’on prend pour regle Harmonique) & sa moitié; on trouvera dans les tons que produisent ces differentes longueurs, un Systême si aprochant de celuy qui provient du Temperament que je viens d’expliquer, qu’il est entierement impossible que l’oreille la plus delicate y trouve de la difference. Et que pourtant ce même nouveau Systême sera d’une nature bien different de l’autre, & aportera de nouveaux avantages tant pour la Theorie que pour la Pratique.
Salinas fait mention de cette invention de diviser l’Octave en 31 parties égales, mais ce n’est que pour la condamner; & le P. Mersenne après luy la rejette de même; d’où l’on pourra bien me croire, si je dis que n’est pas de ces Autheurs que je l’ay prise. Mais quand cela seroit, je croirois avoir fait assez, d’avoir demontré l’excellence de cette division par les principes de la Geometrie, & de l’avoir soûtenuë contre l’injuste arrêt prononcé par ces deux celebres Ecrivains.
Il y a dans le 3. livre de la Musique de Salinas un Chap. entier sur le sujet, dont l’inscription est, De prava constitutione cujusdam instrumenti, quod in Italia citra quadraginta annos fabricare coeptum est, in quo reperitur omnis tonus in partes quinque divisus. Il dit que cet instrument étoit nommé Archicymbalum; qu’il étoit incerti authoris; que certains Musiciens fort habiles l’avoient en grande estime; & particulierement de ce qu’il avoit tous les intervalles, & toutes les consonances (comme ils croyent dit-il) en dessus & en dessous, & qu’après une certaine periode on y revenoit au même son, ou équivalent, d’où on étoit parti. Que l’octave y étoit divisée en 31 parties égales, qu’ils apelloient Diéses, desquelles le ton en devoit contenir 5; le grand semiton 3; le petit 2; la Tierce majeure 10; la Tierce mineure 8; la Quarte 13; la Quinte 18; la Sexte mineure 21; la Sexte majeure 23. Mais il ajoûte, qu’ayant essayé d’accorder un instrument de cette façon, il a rendu un son fort desagreable, & qui offensoit extremement les oreilles de tous les assistans. De sorte qu’il conclud, qu’un tel accord s’éloigne de toute raison Harmonique, soit qu’on l’examine sur le pied des consonances justes, ou de celles du Temperament. Outre son experience il allegue encore certain argument, pris de la maniere dont il dit qu’on se servoit à faire cette division; & le P. Mersenne croit de même l’avoir bien refutée. En quoy ils se sont trompez tous deux, pour n’avoir sû diviser l’Octave en ces 31 parties égales, ce qu’aparemment les inventeurs même n’ont sû non plus; parce qu’il faloit pour cela l’intelligence des Logarithmes, qui n’étoient pas encore inventez de leur tems, ni de celuy de Salinas. Enfin ce nouveau Temperament, qu’ils rebutent si fort, se peut dire le plus excellent de tous, ayant tous les avantages qu’on luy attribuoit; sur tout cette simplicité, qu’il aporte dans la Theorie des tons; & étant si peu different de celuy dont tous se servent, que l’oreille ne les sauroit distinguer; comme je vais le prouver par le calcul.
Je dis donc premierement, que les Quintes de cette division ne surpassent celles du Temperament que de 1/110 de Comma, difference que l’ouïe ne sauroit aucunement apercevoir; mais qui autrement rendroit cette consonance d’autant plus aprochante de la perfection.
Les Quartes par consequent ne sont excedées par celles du Temperament Ordinaire, que cette 1/110 de Comma, & elles tendent aussi d’autant plus vers la perfection.
Les Tierces mineures sont moindres que celles du Temperament de 3/110 ou environ 1/37 de Comma; & les Sextes majeures excedent d’autant les Sextes majeures du Temperament; toutes deux à la verité en s’eloignant de la proportion parfaite; mais on voit que cette difference de 1/37 de Comma ne sauroit être perceptible, ni augmenter sensiblement le 1/4 de Comma, dont ces consonances s’écartoient dêjà des veritables dans le Temperament.
Les Tierces majeures enfin surpassent celles du Temperament, qui sont parfaites, de 4/110, ou environ 1/28 de Comma, qui est si peu de chose, qu’on ne les pourra jamais prendre que pour parfaites, non-obstant cette petite augmentation. Car que peut faire 1/28 de Comma tout seul, puis-qu’un 1/4 se souffre si aisémant?
On peut conclure de la petitesse de toutes ces differences, que lors qu’un jeu d’Orgue, ou un Clavecin sera accordé suivant le Temperament ordinaire, il le sera aussi suivant la division nouvelle, autant que l’oreille pourra discerner. Mais si pourtant on veut se satisfaire entierement là-dessus, & accorder un instrument selon les 31 parties égales de l’Octave, on n’aura qu’à diviser un monocorde, suivant les nombres que l’on verra dans la Table que je donne; & en mettant toute la corde à l’Unisson, avec le C du Clavecin ou de l’Orgue, accorder de même les autres cordes ou tuyaux, avec les sons que cette division leur attribute, & que l’on entend, en plaçant le chevalet selon qu’elle marque. Pour ce qui est de l’Archicymbalum dont parle Salinas, je doute s’il n’a pas eu 31 touches à chaque Octave; mais parce que qu’on ne sauroit se servir d’un tel clavier, sans se confondre dans la multiplicité des touches & des feintes, le meilleur seroit à mon avis, de mettre 31 cordes simples pour chaque Octave, ce qui se peut sans beaucoup de difficulté, & ayant fait les bâtons qui levent les sauteraux tous d’égale longueur, hauteur & largeur, laquelle largeur fasse une cinquiéme de celle d’une touche ordinaire, poser par dessus un clavier mobile, avec des pointes attachées par dessous à toutes les touches; qui étant une fois bien ajustées, pour faire sonner les cordes qu’on employe dans chaque Octave, le seront de même pour toutes les Transpositions. De sorte qu’on pourra les faire sans aucune peine, par tons, semitons, & jusques à des cinquiémes de tons; étant certain, que tous les tons & accords se trouvent également justes par tout; ce qui sera fort utile, & donnera du plaisir. J’ay autrefois fait faire à Paris de tels claviers mobiles, pour les placer au dessus des claviers ordinaires des Clavecins, & faire par ce moyen plusieurs Transpositions, quoi que non pas toutes complettes; & cette invention fut aprouvée & imitée par de grands maîtres.

Division de l’Octave
en 31 parties
égales.
Division de l’Octave
suivant le Temperament
ordinaire.
I.
II.
 III. IV.
V.
VI.
N = 97106450
4,6989700043 50.000 Ut2 C2 50.000 4,6989700043
4,7086806493 51.131
4,7183912943 52.287
4,7281019393 53.469 Si Bx 53.499 4,7283474859
4,7378125843 54.678
4,7475232293 55.914 Sa B 55.902 4,7474250108
4,7572338743 57.179 * * 57.243 4,7577249674
4,7669445193 58.472
4,7766551643 59.794 La A 59.814 4,7768024924
4,7863658093 61.146
4,7960764543 62.528 * * 62.500 4,7958800173
4,8057870993 63.942 Solx Gx 64.000 4,8061799740
4,8154977443 65.388
4,8252083893 66.866 Sol G 66.874 4,8252574989
4,8349190343 68.378
4,8446296793 69.925
4,8543403243 71.506 Fax Fx 71.554 4,8546349804
4,8640509693 73.122
4,8737616143 74.776 Fa F 74.767 4,8737125054
4,8834722593 76.467
4,8931829043 78.196
4,9028935493 79.964 Mi E 80.000 4,9030899870
4,9126041943 81.772
4,9223148393 83.621 Ma Eb 83.593 4,9221675119
4,9320254843 85.512 * * 85.599 4,9324674685
4,9417361293 87.445
4,9514467743 89.422 Re D 89.443 4,9515449935
4,9611574193 91.444
4,9708680643 93.512 * * 93.459 4,9706225184
4,9805787093 95.627 Utx Cx 95.702 4,9809224750
4,9902893545 97.789
4,9999999993 100.000 Ut C 100.000 5,0000000000

Or afin que l’on puisse s’assûrer de la verité de ce qui a été dit cy-dessus, on peut voir cette Table, dont j’explique le contenu & l’usage.
La 2. Colomne contient les nombres, qui expriment les longueurs des cordes, qui font les 31 intervalles égaux suivant la nouvelle division; la corde entiere étant suposée de 100000 parties, & par consequent sa moitié, qui fait l’Octave contre elle, de 50000. A coté dans la 3. Colomne sont les syllabes, dont on se sert en chantant, & des * pour quelques cordes Enarmoniques, dont celle d’auprès du Sol * est la plus necessaire. Dans la 4. Colomne sont les lettres, qui servent à l’ordinaire à designer les tons. Les nombres de la 2. Colomne ont été trouvez par ceux de la 1., qui sont leurs logarithmes respectifs. Et pour avoir ceux-cy j’ay divisé le logarithme de 2, qui est 0,30102999566 par 31; d’où est venu le nombre N, 97106450, que j’ay ajoûté continuellement au logarithme de 50000, qui est 4,6989700043; & de ces additions sont procedez tous les logarithmes de la Colomne jusqu’au plus grand 4,9999999993, qui manquant de si peu de 5,0000000000 (qui peut être substitué pour luy) fait voir que le calcul a été bien fait. Ceux qui entendent les logarithmes, savent qu’il a falu faire ainsi, pour avoir les 30 nombres proportionaux entre 100000 & 50000.
La 5. Colomne contient en nombres les longeurs des cordes suivant le Temperament ordinaire, & dans la 6. Colomne sont les logarithmes de ces nombres.
Je pourrois montrer comment je les ay suputez, & même comment ce Temperament se pouvoit trouver s’il ne l’eût pas encore été. Mais cela seroit trop long, & il suffira que je montre icy la maniere d’examiner, & la justesse de ces nombres, & tout ce qui a été dit touchant la division nouvelle, & du raport qu’elle a avec le Temperament.
Prenons qu’on veuille savoir, si la Quinte Ut, Sol, du Temperament Vulgaire, est moindre de 1/4 de Comma, que la Quinte veritable, que fait la proportion de 3 à 2. Du log. de Ut qui est 5,0000000000 , j’ôte celuy de Sol, qui est 4,8252574989; le reste 0,1747425011 represente la grandeur de la Quinte du Temperament. De même la difference des logarithmes de 3 & de 2, qui dans les Tables des logarithmes est marquée 1760912594, represente la grandeur de la Quinte parfaite. D’icy je soustrais la Quinte du Temperament trouvée, & reste 13487583. Ce qui doit faire le logarithme du 1/4 de Comma. Et cela est vray; car le logarithme du Comma entier, c’est-à-dire la difference des logarithmes de 81 & de 80, est 53950319 dont le quart est 13487580.
Que si l’on veut voir, si quelque quinte de la nouvelle division comme Re, La differe de la vray de 1/4-1/110 de Comma, il faut seulement du logar. de Re, qui est 4,9514467743 ôter le logar. de La, qui est, 4,7766551643, reste 1747916100, que j’ôte du logarithme de la vraye Quinte, qui étoit 1760912594, reste 12996494, qui est moindre que le log. du quart de Comma, savoir 13487580; d’où je l’ôte donc, & il reste 491086. Il faut voir maintenant quelle partie cecy fait du Comma. C’est pourquoy je divise le log. du Comma, savoir 53950319 par 491086, vient fort près 1/110. De sorte qu’il paroît, que nôtre Quinte n’est pas excedée d’un quart de Comma par la Quinte parfaite, mais qu’il s’en faut 1/110 de Comma. De la même maniere on peut examiner tout ce qui regarde ces Temperamens; n’y ayant rien de si commode que les logarithmes pour ces calculs de Musique.

Brief betreffende de harmonische cyclus

Brief van de heer Huygens aan de auteur betreffende de harmonische cyclus

(uit ‘Histoire des Ouvrages des Sçavans’ (Henri Basnage de Beauval), Rotterdam, oktober 1691, pp. 78-88)

Ik stuur u een nieuwe observatie op het gebied van muziek. Deze betreft de eerste fundamenten van deze wetenschap, namelijk de bepaling van de tonen die men in zang en bij het vervaardigen van instrumenten waarneemt. Zij die enigszins bekend zijn met deze theorie, weten wat men bedoelt met het temperament, dat deze tonen matigt, en hoe noodzakelijk het is bij het stemmen van orgelpijpen of de snaren van een klavecimbel. De beroemdste auteurs, zoals Zarlino en Salinas, spreken hierover als een van de mooiste en nuttigste zaken die men in de muziek kan ontdekken, en debatteren over wie van hen beiden de eer toekomt om deze voor het eerst te hebben onderzocht en mathematisch onderbouwd en bewezen; want vóór hen waren ervaring en noodzaak reeds op enige wijze tot deze ontdekking gekomen, zonder dat men echter de ware maatstaf of methode kende. Het is de uitvinding van dit temperament die terecht alle indelingen van de tetrachorden en de diapasoon van de ouden overbodig heeft gemaakt, omdat deze grotendeels absurd en nutteloos waren voor meerstemmige compositie. Door dit temperament is ons systeem van tonen rijker aan consonanten en meer in overeenstemming met de natuurlijke zang dan dat van hen. Ik neem hier aan dat men bekend is met de verhoudingen waarin de perfecte consonanten bestaan: namelijk dat de kwint klinkt wanneer men na het geheel laten klinken van de snaar vervolgens haar twee derde laat klinken; of dat de verhouding die deze consonant voortbrengt 3:2 is. De kwart heeft een verhouding van 4:3; de grote terts 5:4; de kleine terts 6:5; de grote sext 5:3; en de kleine sext 8:5. Wat betreft het temperament leren de genoemde auteurs ons dat om het toe te passen op instrumenten, de consonant van de kwint verminderd moet worden met wat men een kwart komma noemt, een zo kleine hoeveelheid dat het oor nauwelijks deze vermindering waarneemt en er niet door wordt gehinderd. De volledige komma is de verhouding van de tonen van een volledige snaar ten opzichte van zichzelf, ingekort met slechts 1/81. Hieruit volgt dat de kwart met dezelfde kleine hoeveelheid wordt vergroot. De kleine terts wordt op dezelfde wijze met een kwart komma verminderd, en de grote sext bijgevolg met evenveel vergroot; maar de grote terts blijft perfect, en bijgevolg ook de kleine sext.
Het is volgens deze maten van consonanten dat men alle tonen van instrumenten regelt, zowel de diatonische als de chromatische, die men eraan heeft toegevoegd, en zelfs de enharmonische tonen, wanneer deze worden toegevoegd om de klankmogelijkheden completer te maken.
De observatie die ik heb gedaan, is dat wanneer men het octaaf in 31 gelijke intervallen verdeelt – wat gebeurt door 30 gelijke tussenliggende lengtes te berekenen tussen een hele snaar (die men als harmonische regel neemt) en de helft daarvan – men in de tonen die deze verschillende lengtes voortbrengen een systeem zal vinden dat zo dicht in de buurt komt van het temperament dat ik zojuist heb uitgelegd, dat het volstrekt onmogelijk is voor zelfs het meest verfijnde oor om enig verschil te onderscheiden. Toch zal dit nieuwe systeem een heel andere aard hebben en nieuwe voordelen bieden, zowel theoretisch als praktisch.
Salinas maakt melding van deze indeling van het octaaf in 31 gelijke delen, maar alleen om het af te keuren; en P. Mersenne verwerpt het eveneens na hem. Hieruit kan men geloven dat ik deze indeling niet aan hen ontleend heb. Maar zelfs als dat wel zo was, zou ik vinden dat ik voldoende heb gedaan door de voortreffelijkheid van deze indeling met geometrische principes te demonstreren en haar te verdedigen tegen het onrechtvaardige oordeel van deze twee beroemde schrijvers.
In het derde boek over muziek van Salinas is er een heel hoofdstuk over dit onderwerp, met als titel De prava constitutione cujusdam instrumenti, quod in Italia citra quadraginta annos fabricare coeptum est, in quo reperitur omnis tonus in partes quinque divisus (Over de onjuiste bouw van een bepaald instrument dat in Italië minder dan veertig jaar geleden werd vervaardigd, waarbij elke toon in vijf delen is verdeeld). Hij zegt dat dit instrument Archicymbalum werd genoemd, van onbekende maker was, en door bepaalde zeer vaardige musici hoog werd gewaardeerd, vooral omdat het alle intervallen en consonanten bevatte (zoals zij dachten, zegt hij), zowel boven als onder, en dat men na een bepaalde cyclus terugkeerde naar dezelfde toon of het equivalent daarvan waar men begon. Het octaaf was verdeeld in 31 gelijke delen, die zij diesis noemden, waarvan de toon er vijf moest bevatten; de grote halve toon drie; de kleine twee; de grote terts tien; de kleine terts acht; de kwart dertien; de kwint achttien; de kleine sext eenentwintig; en de grote sext drieëntwintig. Maar hij voegt eraan toe dat, na te hebben geprobeerd een instrument op deze manier te stemmen, het een zeer onaangename klank voortbracht, die het gehoor van alle aanwezigen zeer hinderde. Hij concludeert dan ook dat een dergelijke stemming afwijkt van elke harmonische logica, of men het nu bekijkt vanuit de perfecte consonanten of vanuit het temperament. Naast zijn ervaring voert hij een argument aan, gebaseerd op de methode die werd gebruikt om deze indeling te maken, en P. Mersenne denkt dat hij het op dezelfde wijze weerlegd heeft. In dit opzicht vergisten zij zich echter beiden, omdat zij niet wisten hoe zij het octaaf in deze 31 gelijke delen moesten verdelen, iets wat blijkbaar de uitvinders zelf ook niet wisten; daarvoor was kennis van logaritmen nodig, die in hun tijd, noch in die van Salinas, nog niet waren uitgevonden. Uiteindelijk kan dit nieuwe temperament, dat zij zo krachtig afwijzen, het meest voortreffelijke van allemaal genoemd worden, omdat het alle voordelen biedt die eraan worden toegeschreven. Vooral door de eenvoud die het in de theorie van de tonen brengt, en omdat het zo weinig verschilt van het temperament dat algemeen wordt gebruikt, dat het oor het verschil niet kan onderscheiden. Dit zal ik door middel van berekeningen bewijzen.
Ik zeg ten eerste dat de kwinten van deze verdeling de kwinten van het temperament slechts met 1/110 van een komma overtreffen, een verschil dat door het oor helemaal niet kan worden waargenomen, maar dat deze consonantie juist dichter bij de perfectie brengt.
De kwarten worden bijgevolg door dezezelfde 1/110 van een komma minder overschreden door die van het gewone temperament, en zij neigen daardoor ook meer naar de perfectie.
De kleine tertsen zijn 3/110, of ongeveer 1/37 van een komma, kleiner dan die van het temperament; en de grote sexten overtreffen die van het temperament met dezelfde hoeveelheid. Beide wijken inderdaad verder af van de perfecte verhouding, maar men ziet dat dit verschil van 1/37 van een komma niet waarneembaar is en de afwijking van een kwart komma, die deze consonanten in het temperament reeds hadden, nauwelijks vergroot.
De grote tertsen tenslotte overtreffen die van het temperament, die perfect zijn, met 4/110, of ongeveer 1/28 van een komma. Dit is zo’n kleine hoeveelheid dat men ze altijd als perfect zal beschouwen, ondanks deze kleine toename. Want wat kan 1/28 van een komma in zijn eentje betekenen, wanneer een kwart komma zo gemakkelijk wordt geaccepteerd?
Men kan uit de kleinheid van al deze verschillen concluderen dat, wanneer een orgelregister of een klavecimbel wordt gestemd volgens het gewone temperament, het evenzeer volgens de nieuwe verdeling zal zijn gestemd, voor zover het oor dit kan onderscheiden. Maar als men zich volledig wil bevredigen in dit opzicht, en een instrument wil stemmen volgens de 31 gelijke delen van het octaaf, hoeft men slechts een monochord te verdelen volgens de getallen die men in de door mij gegeven tabel zal zien; en door de hele snaar op unisono af te stemmen met de C van het klavecimbel of het orgel, de andere snaren of pijpen op dezelfde wijze af te stemmen met de tonen die deze verdeling eraan toekent, en die men hoort door de kam te plaatsen zoals aangegeven. Wat betreft het Archicymbalum waarover Salinas spreekt, twijfel ik eraan of het niet 31 toetsen per octaaf had; maar omdat men een dergelijk klavier niet kan gebruiken zonder in verwarring te raken door de overvloed aan toetsen en verkorte tonen, lijkt het mij het beste om 31 enkele snaren voor elk octaaf te plaatsen, wat zonder veel moeite kan worden gedaan. En door de stokjes die de plectra optillen allemaal van gelijke lengte, hoogte en breedte te maken – waarbij deze breedte een vijfde is van die van een gewone toets – zou men een beweegbaar klavier daarbovenop kunnen plaatsen, met pinnetjes aan de onderkant die aan alle toetsen zijn bevestigd. Wanneer deze eenmaal goed zijn afgesteld om de snaren te laten klinken die men in elk octaaf gebruikt, zullen ze ook op dezelfde manier werken voor alle transposities. Zo kan men deze zonder enige moeite uitvoeren, in hele tonen, halve tonen en zelfs in kwinttonen. Het is zeker dat alle tonen en akkoorden overal even juist zullen zijn, wat zeer nuttig zal zijn en veel plezier zal geven. Ik heb in het verleden in Parijs dergelijke beweegbare klavieren laten maken om boven de gewone klavieren van klavecimbels te plaatsen en zo verschillende transposities te realiseren, hoewel niet volledig compleet. En deze uitvinding werd goedgekeurd en nagevolgd door grote meesters.

Verdeling van het
octaaf in 31
gelijke delen.
Verdeling van het octaaf
volgens het gebruikelijke
temperament.
I.
II.
 III. IV.
V.
VI.
N = 97106450
4,6989700043 50.000 Ut2 C2 50.000 4,6989700043
4,7086806493 51.131
4,7183912943 52.287
4,7281019393 53.469 Si Bx 53.499 4,7283474859
4,7378125843 54.678
4,7475232293 55.914 Sa B 55.902 4,7474250108
4,7572338743 57.179 * * 57.243 4,7577249674
4,7669445193 58.472
4,7766551643 59.794 La A 59.814 4,7768024924
4,7863658093 61.146
4,7960764543 62.528 * * 62.500 4,7958800173
4,8057870993 63.942 Solx Gx 64.000 4,8061799740
4,8154977443 65.388
4,8252083893 66.866 Sol G 66.874 4,8252574989
4,8349190343 68.378
4,8446296793 69.925
4,8543403243 71.506 Fax Fx 71.554 4,8546349804
4,8640509693 73.122
4,8737616143 74.776 Fa F 74.767 4,8737125054
4,8834722593 76.467
4,8931829043 78.196
4,9028935493 79.964 Mi E 80.000 4,9030899870
4,9126041943 81.772
4,9223148393 83.621 Ma Eb 83.593 4,9221675119
4,9320254843 85.512 * * 85.599 4,9324674685
4,9417361293 87.445
4,9514467743 89.422 Re D 89.443 4,9515449935
4,9611574193 91.444
4,9708680643 93.512 * * 93.459 4,9706225184
4,9805787093 95.627 Utx Cx 95.702 4,9809224750
4,9902893545 97.789
4,9999999993 100.000 Ut C 100.000 5,0000000000

Om de waarheid van wat hierboven is gezegd te verifiëren, kan men deze tabel bekijken, waarvan ik de inhoud en het gebruik uitleg.
De tweede kolom bevat de getallen die de lengtes van de snaren weergeven die de 31 gelijke intervallen volgens de nieuwe verdeling vormen. De hele snaar wordt verondersteld uit 100.000 eenheden te bestaan, en de helft daarvan, die de octaaf vormt, bestaat dus uit 50.000 eenheden. In de derde kolom staan de lettergrepen die worden gebruikt bij het zingen, en sterretjes () voor enkele enharmonische tonen, waarvan die naast de sol () de meest noodzakelijke is. In de vierde kolom staan de letters die gewoonlijk worden gebruikt om de tonen aan te duiden. De getallen in de tweede kolom zijn afgeleid van die in de eerste kolom, die de respectieve logaritmen ervan zijn. Om deze logaritmen te berekenen, heb ik de logaritme van 2, namelijk 0,30102999566, gedeeld door 31. Hieruit kwam het getal , dat ik continu heb toegevoegd aan de logaritme van 50.000, namelijk 4,6989700043. Uit deze optellingen zijn alle logaritmen in de kolom voortgekomen, tot aan de grootste waarde, 4,9999999993. Omdat dit slechts een fractie ontbreekt tot 5,0000000000 (wat hiervoor kan worden aangenomen), blijkt dat de berekeningen correct zijn uitgevoerd. Degenen die bekend zijn met logaritmen weten dat dit de juiste methode is om de 30 proportionele getallen tussen 100.000 en 50.000 te bepalen.
De vijfde kolom bevat de lengtes van de snaren volgens het gebruikelijke temperament, en in de zesde kolom staan de logaritmen van deze getallen.
Ik zou kunnen laten zien hoe ik deze heb berekend en zelfs hoe dit temperament kon worden vastgesteld, mocht het nog niet eerder zijn ontdekt. Maar dat zou te lang duren. Het is voldoende dat ik hier uitleg hoe men deze getallen kan onderzoeken, hun nauwkeurigheid kan controleren, en alles kan verifiëren wat is gezegd over de nieuwe verdeling en de relatie ervan met het temperament.
Neem bijvoorbeeld dat men wil weten of de kwint Ut-Sol van het gebruikelijke temperament een kwart komma kleiner is dan de ware kwint, die wordt gevormd door de verhouding 3:2. Van de logaritme van Ut, namelijk 5,0000000000, trek ik de logaritme van Sol, namelijk 4,8252574989, af. Het verschil, 0,1747425011, vertegenwoordigt de grootte van de kwint in het gebruikelijke temperament. Evenzo vertegenwoordigt het verschil tussen de logaritmen van 3 en 2, dat in logaritmetabellen wordt weergegeven als 0,1760912594, de grootte van de perfecte kwint. Hier trek ik de kwint van het temperament van af, wat resulteert in 0,0013487583. Dit moet de logaritme zijn van een kwart komma. En dat is correct, want de logaritme van een hele komma, dat wil zeggen het verschil tussen de logaritmen van 81 en 80, is 0,0053950319, waarvan een kwart gelijk is aan 0,0013487580.
Als men wil weten of een kwint volgens de nieuwe verdeling, zoals Re-La, afwijkt van de ware kwint met  komma, dan moet men simpelweg van de logaritme van Re (4,9514467743) de logaritme van La (4,7766551643) aftrekken. Het verschil, 0,1747916100, trek ik af van de logaritme van de ware kwint, die 0,1760912594 was. Het resultaat is 0,0012996494, wat kleiner is dan de logaritme van een kwart komma, namelijk 0,0013487580. Als ik dit verschil verder aftrek, blijft er 0,0000491086 over. Nu moet men bepalen welk deel dit vormt van een hele komma. Daarom deel ik de logaritme van de komma (0,0053950319) door 0,0000491086. Dit komt zeer dicht in de buurt van . Het blijkt dus dat onze kwint niet met een kwart komma wordt overschreden door de perfecte kwint, maar dat het tekort slechts  komma bedraagt. Op dezelfde manier kan men alles onderzoeken wat betrekking heeft op deze temperamenten. Er is niets zo handig als logaritmen voor dergelijke muzikale berekeningen.

    Letter concerning the harmonic cycle

    Letter from Mr. Huygens to the Author Concerning the Harmonic Cycle

    (from ‘Histoire des Ouvrages des Sçavans’ by Henri Basnage de Beauval, Rotterdam, October 1691, pp. 78–88)

    I send you a new observation in the field of music. It concerns the most fundamental principles of this science, namely the determination of the pitches one perceives in singing and in the making of instruments. Those somewhat familiar with this theory know what is meant by temperament, which moderates these pitches, and how necessary it is for tuning organ pipes or the strings of a harpsichord. The most renowned authors, such as Zarlino and Salinas, speak of it as one of the most beautiful and useful discoveries in music, and they debate who among them deserves the honor of having first examined and mathematically substantiated and proven it; for before them, experience and necessity had already, in some way, led to this discovery, though the true measure or method was unknown. It is the invention of this temperament that has rightly rendered obsolete all the divisions of tetrachords and the diapason of the ancients, which were for the most part absurd and useless for polyphonic composition. Through this temperament, our system of tones is richer in consonances and more aligned with natural singing than theirs. I assume here a familiarity with the ratios in which perfect consonances occur: namely, that the fifth sounds when, after allowing the entire string to vibrate, one then allows two-thirds of it to sound; or, that the ratio producing this consonance is 3:2. The fourth has a ratio of 4:3; the major third 5:4; the minor third 6:5; the major sixth 5:3; and the minor sixth 8:5. As for temperament, the aforementioned authors teach us that, in order to apply it to instruments, the fifth must be diminished by what is called a quarter-comma, a quantity so small that the ear scarcely perceives the reduction and is not disturbed by it. The full comma is the ratio of the tones of a whole string compared to itself shortened by only 1/81. It follows that the fourth is increased by the same small amount. The minor third is likewise diminished by a quarter-comma, and the major sixth thereby increased by the same; but the major third remains perfect, and consequently so does the minor sixth.
    It is according to these measurements of consonances that all tones of instruments are regulated, both diatonic and chromatic, which have been added to it, and even the enharmonic tones when they are included to complete the sonic possibilities. The observation I have made is that when one divides the octave into 31 equal intervals—this is done by calculating 30 equal intermediary lengths between a full string (taken as the harmonic standard) and its half—one finds among the tones produced by these various lengths a system so close to the temperament just described that it is entirely impossible even for the most discerning ear to detect any difference. Yet this new system will have an entirely different nature and offer new advantages, both theoretical and practical. Salinas mentions this division of the octave into 31 equal parts, but only to reject it; and Father Mersenne also dismisses it after him. From this, one might believe that I did not derive the idea from them. But even if I had, I would still consider myself to have done enough by demonstrating the excellence of this division through geometrical principles and defending it against the unjust judgment of these two illustrious writers.
    In the third book on music by Salinas, there is an entire chapter on this topic, entitled De prava constitutione cujusdam instrumenti, quod in Italia citra quadraginta annos fabricare coeptum est, in quo reperitur omnis tonus in partes quinque divisus (On the faulty construction of a certain instrument that began to be built in Italy less than forty years ago, in which every tone is divided into five parts). He says this instrument was called the Archicymbalum, made by an unknown builder, and was highly esteemed by certain very skilled musicians, particularly because it included all intervals and consonances (as they believed, he says), both above and below, and that after a certain cycle one returned to the same tone or its equivalent from where one started. The octave was divided into 31 equal parts, which they called dieses, of which the tone had to contain five; the major semitone three; the minor two; the major third ten; the minor third eight; the fourth thirteen; the fifth eighteen; the minor sixth twenty-one; and the major sixth twenty-three. But he adds that after attempting to tune an instrument in this manner, it produced a very unpleasant sound, which disturbed the hearing of all present. He therefore concludes that such a tuning deviates from all harmonic logic, whether considered from the standpoint of perfect consonances or of temperament. In addition to his experience, he presents an argument based on the method used to construct this division, and Father Mersenne believes he refuted it in the same manner. In this regard, however, they were both mistaken, as they did not know how to divide the octave into these 31 equal parts—something which, it appears, even the inventors themselves did not know; for this required the knowledge of logarithms, which had not yet been discovered in their time, nor in that of Salinas. Ultimately, this new temperament, which they so strongly rejected, can be called the most excellent of all, because it offers all the advantages attributed to it—especially by the simplicity it brings to the theory of tones—and because it differs so little from the commonly used temperament that the ear cannot discern the difference. This I will demonstrate through calculations.
    I say, first, that the fifths in this division exceed the fifths of the temperament by only 1/110 of a comma—a difference entirely imperceptible to the ear, but one that brings the consonance closer to perfection. The fourths, consequently, are exceeded by the same 1/110 of a comma less than those of the common temperament, and thus they too tend more toward perfection.
    The minor thirds are 3/110, or about 1/37 of a comma, smaller than those of the temperament; and the major sixths exceed those of the temperament by the same amount. Both indeed deviate further from the perfect ratio, but this difference of 1/37 of a comma is not perceptible, and hardly increases the deviation of a quarter-comma that these consonances already had in the temperament. Finally, the major thirds exceed those of the temperament, which are perfect, by 4/110, or about 1/28 of a comma. This is such a small quantity that they will always be regarded as perfect, despite this slight increase. For what could 1/28 of a comma mean on its own, when a quarter-comma is so readily accepted?
    From the minuteness of all these differences, one may conclude that when an organ register or a harpsichord is tuned according to the usual temperament, it is, for all that the ear can discern, also tuned according to the new division. But if one wishes to be completely satisfied in this matter and tune an instrument according to the 31 equal parts of the octave, one need only divide a monochord according to the numbers shown in the table I have provided; and by tuning the full string in unison with the C of the harpsichord or organ, and tuning the other strings or pipes accordingly to the tones this division assigns to them (as heard by placing the bridge in the indicated position), this can be achieved. As for the Archicymbalum mentioned by Salinas, I doubt whether it did not indeed have 31 keys per octave; but since such a keyboard cannot be used without confusion due to the abundance of keys and altered tones, it seems best to me to arrange 31 single strings for each octave, which can be done without much effort. And by making the jacks that lift the plectra all of equal length, height, and width—with this width being one-fifth of that of an ordinary key—one could place a movable keyboard above it, with pins underneath attached to all the keys. Once these are properly adjusted to strike the strings used in each octave, they will operate in the same way for all transpositions. Thus, one can carry these out effortlessly in whole tones, semitones, and even quarter-tones. It is certain that all tones and chords will be equally correct everywhere, which will be highly useful and very pleasing. I have previously had such movable keyboards made in Paris to be placed over the ordinary keyboards of harpsichords to allow for various transpositions, though not yet fully complete. This invention was approved and imitated by great masters.

    Division of the
    octave into 31
    equal parts.
    Division of the octave
    according to the usual
    temperament.
    I.
    II.
    		 III. IV.
    V.
    VI.
    N = 97106450
    4,6989700043 50.000 Ut2 C2 50.000 4,6989700043
    4,7086806493 51.131
    4,7183912943 52.287
    4,7281019393 53.469 Si Bx 53.499 4,7283474859
    4,7378125843 54.678
    4,7475232293 55.914 Sa B 55.902 4,7474250108
    4,7572338743 57.179 * * 57.243 4,7577249674
    4,7669445193 58.472
    4,7766551643 59.794 La A 59.814 4,7768024924
    4,7863658093 61.146
    4,7960764543 62.528 * * 62.500 4,7958800173
    4,8057870993 63.942 Solx Gx 64.000 4,8061799740
    4,8154977443 65.388
    4,8252083893 66.866 Sol G 66.874 4,8252574989
    4,8349190343 68.378
    4,8446296793 69.925
    4,8543403243 71.506 Fax Fx 71.554 4,8546349804
    4,8640509693 73.122
    4,8737616143 74.776 Fa F 74.767 4,8737125054
    4,8834722593 76.467
    4,8931829043 78.196
    4,9028935493 79.964 Mi E 80.000 4,9030899870
    4,9126041943 81.772
    4,9223148393 83.621 Ma Eb 83.593 4,9221675119
    4,9320254843 85.512 * * 85.599 4,9324674685
    4,9417361293 87.445
    4,9514467743 89.422 Re D 89.443 4,9515449935
    4,9611574193 91.444
    4,9708680643 93.512 * * 93.459 4,9706225184
    4,9805787093 95.627 Utx Cx 95.702 4,9809224750
    4,9902893545 97.789
    4,9999999993 100.000 Ut C 100.000 5,0000000000

    To verify the truth of what has been said above, one may examine this table, whose contents and use I will explain.
    The second column contains the numbers representing the string lengths that form the 31 equal intervals according to the new division. The full string is assumed to consist of 100,000 units, and its half, which forms the octave, therefore consists of 50,000 units. The third column contains the syllables used in singing, and asterisks (*) for certain enharmonic tones, of which the one beside sol is the most necessary. The fourth column contains the letters commonly used to denote the tones. The numbers in the second column are derived from those in the first column, which are their respective logarithms.
    To calculate these logarithms, I divided the logarithm of 2, namely 0.30102999566, by 31. This yielded the number N = 0.0097106450, which I continuously added to the logarithm of 50,000, namely 4.6989700043. From these additions, all the logarithms in the column are derived, up to the highest value, 4.9999999993. Since this lacks only a fraction to reach 5.0000000000 (which may be taken as exact), it is evident that the calculations were correctly performed. Those familiar with logarithms know that this is the proper method to determine the 30 proportional numbers between 100,000 and 50,000.|
    The fifth column contains the string lengths according to the usual temperament, and the sixth column the logarithms of these values.
    I could show how I computed these, and even how this temperament could be established, had it not previously been discovered. But that would be too lengthy. It suffices that I explain here how one may examine these numbers, verify their accuracy, and confirm everything that has been said regarding the new division and its relation to the temperament.
    Suppose one wishes to know whether the fifth Ut–Sol in the ordinary temperament is a quarter-comma smaller than the true fifth, which is formed by the ratio 3:2. From the logarithm of Ut, namely 5.0000000000, I subtract the logarithm of Sol, namely 4.8252574989. The difference, 0.1747425011, represents the size of the fifth in the ordinary temperament. Similarly, the difference between the logarithms of 3 and 2, given in logarithmic tables as 0.1760912594, represents the size of the perfect fifth. Subtracting the tempered fifth from this yields 0.0013487583. This must be the logarithm of a quarter-comma. And that is correct, for the logarithm of a whole comma—that is, the difference between the logarithms of 81 and 80—is 0.0053950319, of which a quarter is 0.0013487580.
    If one wishes to know whether a fifth in the new division, such as Re–La, deviates from the true fifth by 1/4 minus 1/110 of a comma, one must simply subtract the logarithm of La (4.7766551643) from that of Re (4.9514467743). The difference, 0.1747916100, is subtracted from the logarithm of the true fifth, which was 0.1760912594. The result is 0.0012996494, which is smaller than the logarithm of a quarter-comma, namely 0.0013487580. Subtracting this further yields 0.0000491086. Now one must determine what fraction this represents of a whole comma. Therefore, I divide the logarithm of the comma (0.0053950319) by 0.0000491086. This is very close to 1/110. It thus appears that our fifth does not exceed the perfect fifth by a quarter-comma, but that the deficiency is only 1/110 of a comma. In the same way, one may examine everything that pertains to these temperaments. Nothing is so useful for such musical calculations as logarithms.

      Literatuur

      • Christiaan Huygens: Le cycle harmonique & Novus cyclus harmonicus, Rudolf Rasch (ed.), Tuning and temperament library vol. 6, Diapason Press, Utrecht, 1986. Dit boek heeft o.m. een Nederlandse, Engelse en Latijnse vertaling van de Brief betreffende de harmonische cyclus en een inleiding.