Toonsystemen

Wat is een toonsysteem?

Een toonsysteem, ook wel ’toonstelsel’ genoemd, verwijst naar de organisatie en indeling van toonhoogten binnen een muzikaal kader. Het vormt de basisstructuur waaruit verschillende toonladders en modi worden afgeleid. In de westerse muziek is het meest gangbare toonsysteem gebaseerd op de gelijkzwevende stemming, waarbij het octaaf is onderverdeeld in twaalf gelijke halve tonen. Dit systeem maakt modulatie tussen verschillende toonsoorten mogelijk zonder merkbare verstemming. Echter, de zuiverheid van bepaalde intervallen laat in deze stemming te wensen over. Daarnaast kan de afwezigheid van tonen die de zevende en elfde boventonen kunnen benaderen als probleem worden ervaren. In de loop der tijd hebben daarom verschillende componisten en theoretici geëxperimenteerd met alternatieve toonsystemen. Zo ontwikkelde de Nederlandse wetenschapper Christiaan Huygens een 31-toonssysteem, dat later door Adriaan Fokker werd toegepast in het door hem gebouwde 31-toonsorgel, en bepleitte de Salzburgse componisten Franz Richter Herf en Rolf Maedel met hun Ekmelische Musik in de vorige eeuw het 72-toonssysteem. Deze systemen streven naar een grotere zuiverheid in de intonatie en bieden nieuwe mogelijkheden voor microtonale muziek. 
Het begrip ’toonsysteem’ is nauw verbonden met termen als ’toonladder’. Een toonladder is een opeenvolging van stijgende of dalende tonen binnen een octaaf, zoals de majeur- of mineurladder. Een toonstelsel daarentegen verwijst naar de bredere verzameling van alle mogelijke tonen en de onderlinge relaties daartussen. Deze systemen bepalen de karakteristieke klank en harmonie van de muziek en variëren per muziekstijl en cultuur. Naast het westerse toonsysteem bestaan er immers wereldwijd diverse andere systemen. In de Indiase muziek bijvoorbeeld, wordt het concept van ’that’ gehanteerd, een systeem van toonladders dat dient als basis voor raga’s. Door de mondiale diversiteit aan toonsystemen, beschikt de muziek over een rijk palet aan expressieve mogelijkheden die diverse culturen weerspiegelen.

De middentoonstemming

De middentoonstemming is een systeem voor het stemmen van toetsinstrumenten dat vooral populair was van de vroege 16e tot de 18e eeuw. Het richt zich op het optimaliseren van grote tertsen, zoals de interval C–E, die vier halve tonen beslaat. In dit systeem worden toetsenborden zo gestemd dat de grote terts gelijkmatig verdeeld is tussen de buitenste tonen, bijvoorbeeld de grondtoon en de kwint. Dit wordt bereikt door de kwint iets te verkleinen, met ongeveer 5,38 cents, waardoor deze iets kleiner wordt dan een natuurlijke kwint. Wanneer een reeks van vier middentoonkwinten wordt gestemd, zoals C–G, G–d, d–a en a–e′, en de overtollige octaven worden verwijderd, resulteert dit in een reine grote terts, zoals c–e′.

Middentoonstemming bood een alternatief voor reine stemming, waarbij de juiste stemming van alle intervallen in de schaal werd verkregen door verschillende toevoegingen en aftrekkingen van perfecte natuurlijke kwinten en tertsen, in overeenstemming met de kwinten en tertsen die voorkomen in de natuurlijke harmonische reeks. Dit proces resulteerde in hele tonen van twee verschillende groottes. Wanneer een instrument dat in C was gestemd werd bespeeld in G, stonden de grote en kleine hele tonen in de verkeerde volgorde, waardoor het instrument vals klonk. Middentoonstemming verving dit door één enkele, gemiddelde hele toon.

Verschillende combinaties van middentoonkwinten werden gebruikt om de juiste stemming van elk van de 12 noten per octaaf op het toetsenbord te bepalen. Dit resulteerde in een opvallend aangename klank voor drieklanken, het overheersende akkoordtype bestaande uit een grondtoon, een terts en een kwint, zoals c–e–g. Bij het stemmen van de zwarte toetsen hadden noten zoals F♯ en G♭, die dezelfde toets delen, echter niet dezelfde toonhoogte. Een bepaalde zwarte toets kon dus slechts voor een van de twee mogelijke noten worden gebruikt, meestal C♯, E♭, F♯, G♯ en B♭ (drie kruisen en twee mollen). Als een instrument werd bespeeld in een toonsoort die een alternatieve noot vereiste, bijvoorbeeld A♭ in plaats van G♯, ontstond er een sterke dissonantie, bekend als de “wolf”, omdat de samenklank zo vals was dat deze huilde als een wolf. Dit nadeel leidde in de 18e eeuw tot de vervanging van middentoonstemming door gelijkzwevende stemming. Toch bleef het in Engeland in gebruik tot het midden van de 19e eeuw en kwam het in de late 20e en vroege 21e eeuw om expressieve redenen tot een kleine opleving bij sommige componisten. Hieronder zijn de afstanden tussen de tonen in standaard middentoonstemming schematisch te zien.

De verdeling van de grotere diatonische en kleinere chromatische halve toon in standaard middentoonstemming, waarin de halve tonen in een toonladder niet op gelijke afstand van elkaar staan.

De berekening van middentoonstemming kan worden geïllustreerd aan de hand van de kwart-komma-middentoonstemming, een specifieke variant binnen dit systeem. In deze stemming wordt de perfecte kwint verminderd met een kwart van een syntonische komma, wat resulteert in een kwint van ongeveer 696,578 cents. Door een reeks van dergelijke verkleinde kwinten te stapelen, kan men de toonladder construeren. Het doel is om reine grote tertsen te verkrijgen met een frequentieverhouding van 5:4. Middentoonstemmingen zijn opgebouwd volgens hetzelfde principe als de stemming van Pythagoras door opeenvolging van kwinten, maar tempereren de kwinten om de zuiverheid van de tertsen te verbeteren. De term ‘middentoon’ duidt erop dat alle hele toonafstanden aan elkaar gelijk zijn en een soort gemiddelde vormen.

In de praktijk werden verschillende varianten van middentoonstemming gebruikt, afhankelijk van de mate waarin men de kwinten temperde om de tertsen te optimaliseren. Een bekend voorbeeld is de kwart-komma-middentoonstemming, maar er zijn ook andere vormen ontwikkeld om aan specifieke muzikale behoeften te voldoen. Hoewel middentoonstemming zijn beperkingen had, zoals de aanwezigheid van de o.a. de ‘wolfskwint’ en de ongeschiktheid voor bepaalde toonsoorten, speelde het een cruciale rol in de ontwikkeling van de westerse muziek en harmonie. Het bood een systeem waarin harmonieën en cadensen in verschillende toonsoorten een unieke klankkleur hadden, wat bijdroeg aan de expressiviteit van de muziek uit die periode.

Pietro Aaron, een Italiaanse muziektheoreticus uit de vroege 16e eeuw, wordt vaak genoemd als de eerste die de middentoonstemming beschreef, specifiek gericht op muzikanten en instrumentbouwers. In zijn werk “Toscanello in musica” uit 1523 gaf hij praktische instructies voor het stemmen van instrumenten die wezen op een systeem waarbij kwinten werden verkleind om zuivere tertsen te verkrijgen. Hoewel Aaron niet expliciet de term “middentoonstemming” gebruikte, legde hij wel de basis voor dit stemmingssysteem door het beschrijven van technieken, die later kenmerkend werden voor de middentoonstemming. Zijn werk markeert een overgangsperiode in de muziekgeschiedenis, waarin de focus verschoof van puur melodische structuren naar harmonische beginselen, en zijn bijdragen hebben de ontwikkeling van stemmingssystemen in de Westerse muziek tijdens de renaissance aanzienlijk beïnvloed. Eerdere aanwijzingen voor concepten die lijken op middentoonstemming zijn te vinden in de werken van muziektheoretici zoals Marchetto da Padova in de 14e eeuw. Marchetto introduceerde ideeën over kleine aanpassingen in intervallen, die als voorlopers van middentoonstemming kunnen worden beschouwd. Ook in de late Middeleeuwen en vroege Renaissance waren er andere theoretici die experimenteerden met alternatieve stemmingssystemen om tertsen zuiverder te maken.

Het 19-toonssysteem

Het 19-toonssysteem is een gelijkzwevende stemming die het octaaf verdeelt in 19 gelijke intervallen van ongeveer 63,16 cents per stap en biedt een interessant alternatief voor de traditionele 12-toonsstemming. De 19-toonsstemming is, net als het 31-toonsstemming, tevens een oplossing uit de renaissance voor de problemen met de middentoonstemming, waarin de grote tertsen beter stemmen en de kwinten licht vernauwd zijn, en waarbinnen men wél kan moduleren naar alle toonsoorten. Al in de 16e eeuw was de Spaanse muziektheoreticus en organist Francisco de Salinas (1513–1590) een van de eerste theoretici die de basis legde voor dit type stemming. In zijn werk De Musica Libri Septem (1577) beschreef hij systemen zoals 1/3- en 1/4-komma-middentoon, die nauw verwant zijn aan het 19-toonssysteem.  Ook bepleitte Salinas hierin een stemming waarbij zowel chromatische als enharmonische tonen eenvoudig konden worden gespeeld. Hij ontwierp een toetsenbord met 19 toetsen per octaaf, waarmee hij complexere melodieën en harmonieën kon realiseren zonder de ‘wolfskwint’, een vaak storend element in de traditionele middentoonstemming. Het systeem werd ook besproken door componisten en theoretici zoals Quirinus van Blankenburg, Guillaume Costeley, Ferruccio Busoni, Joseph Yasser en Joel Mandelbaum. De componist Guillaume Costeley (1530/1531-1606) gebruikte een dergelijk systeem zelfs al in 1558 voor een lied. En organist en musicoloog Joseph Yasser (1893 -1981) wees erop dat componisten, zoals Alexander Scriabin, mogelijk al ideeën toepasten die aan het 19-toonssysteem verwant waren, en hij stelde voor dat een 19-toonsinstrument een natuurlijke evolutie van muziekinstrumenten zou kunnen zijn. Joel Mandelbaum benadrukte vooral de unieke klank en melodische kracht van het systeem, wat het bijzonder aantrekkelijk maakt voor experimentele muziek.

De stemming biedt enkele opmerkelijke voordelen. Kleine tertsen klinken uiterst zuiver (met een te verwaarlozen afwijking van +0,15 cents ten opzichte van de boventonen) en grote tertsen zijn harmonieuzer dan in de 12-toonsstemming (-7,36 cents tegenover +13,69 cents). Tegelijkertijd hebben de kwinten een minder zuiver en kwijnend karakter (-7,22 cents), wat sommige componisten juist als expressief beschouwen. Het systeem elimineert echter de beperkingen van de traditionele middentoonstemming en opent nieuwe mogelijkheden voor melodische expressie. Ook sluit het goed aan bij bestaande notatiepraktijken, wat de toepassing eenvoudiger maakt. Zo kan 19-toonsmuziek eenvoudigweg met gangbare voortekens worden gerealiseerd, aangezien er in dit systeem (net als in veel andere toonsystemen met meer dan 12 tonen) een verschil wordt gemaakt tussen bijvoorbeeld een Cis en een Des. Zie hieronder een voorbeeld van de notatie: 


Toch heeft het 19-toonssysteem enkele beperkingen voor gebruik in hedendaagse muziek. Het kan namelijk bepaalde boventonen, zoals de 7e en 11e, niet goed benaderen (resp. –21,46 cents en +17,10 cents). Andere stemmingen, zoals het 22- en 31-toonssysteem, worden vaak als completer ervaren. Het 19-toonssysteem wordt tegenwoordig vooral toegepast voor specifieke muzikale doeleinden, eerder als een eigenzinnige modus dan als vervanging van bestaande stemmingen. En voor wie niet op zoek is naar een goede 7e en/of 11e boventoon, is het voordeel van het 19-toonssyteem dat men met relatief weinig toegevoegde tonen kan moduleren naar alle toonsoorten binnen de middentoonstemming, wat als voordeel heeft dat het tegenwoordig fysiek eenvoudiger te realiseren is. Instrumenten zoals speciaal aangepaste klavieren of verstemde klavecimbels maken het gebruik praktisch mogelijk. Bovendien stelt het componisten in staat om rijke, expressieve harmonieën te creëren die met 12 tonen vaak lastiger te bereiken zijn. Het systeem kan dus een balans bieden tussen technische uitvoerbaarheid en artistieke vrijheid.

Het 24-toonssysteem

Het 24-toonssysteem, ook bekend als kwarttoonsysteem, is een gelijkzwevende stemming waarin het octaaf wordt verdeeld in 24 gelijke intervallen, waarbij elk interval precies 50 cents bedraagt. Dit systeem verdubbelt daarmee de traditionele 12-toonstoonladder en introduceert kwarttonen, die exact tussen de gebruikelijke halve tonen van 100 cents te vinden zijn. Het opent nieuwe muzikale mogelijkheden met fijnere intervallen en rijkere harmonieën. Kwarttonen worden vaak gedefinieerd als de helft van een halve toon of een kwart van een hele toon, en vormen een integraal onderdeel van dit systeem. De kwarttoon tussen bijvoorbeeld A4 (440 Hz) en Bes4 (ca. 466 Hz) is Ai4 (440×1.02930≈453 Hz) staat op een afstand van 50 cents tussen de eerstgenoemde twee tonen. Hierdoor kan de 11e boventoon met een verschil van 1,32 cents bijna perfect worden benaderd. De gelijkzwevende kwarttoonstemming heeft daarom veel overeenkomsten met intervallen die gebaseerd zijn op de elfde boventoon van de boventoonreeks: 11:8 = 551 cents, 11:9 = 347 cents, 11:6 = 1049 cents en 12:11 = 151 cents. Maar ook intervallen als 7:6 en 11:10 liggen binnen het bereik. Deze intervallen kunnen nieuwe akkoorden mogelijk maken. De terts en de kwint zijn echter exact hetzelfde als in het 12-toonssyteem.

De geschiedenis van de kwarttoon begon in de vroege negentiende eeuw, toen de Franse componist Antonin Reicha (1770-1836) speculeerde over het gebruik ervan. Het kwarttoonsysteem kreeg echter pas echt vorm in de vroege 20e eeuw. De Duitse componist Richard H. Stein (1882-1942) publiceerde in 1906 de eerste compositie met kwarttonen, Zwei Konzertstücke für Violoncello und Klavier op. 26. Daarna volgde Arthur Lourie (1892-1966), die in 1915 zijn Prélude opus 12 voor kwarttoonpiano componeerde. En niet veel later andere pioniers als Charles Ives (1874-1954) met Three Quarter–Tone Pieces, maar ook Jörg Mager (1880-1939), Willi von Möllendorf (1872-1934), Julián Carrillo (1875-1965), Mildred Couper (1887-1974), Alois Hába (1893-1973) en Ivan Wyschnegradsky (1893-1979), die het 24-toonssysteem verder exploreerden. Hába was een belangrijk figuur in Praag en ontwierp zelfs speciale instrumenten, zoals kwarttoonpiano’s en -harmoniums, om de praktische uitvoering van kwarttoonsmuziek mogelijk te maken. Hij zag microtonale muziek als een natuurlijke evolutie van de westerse harmonieleer door chromatische toonladder uit te breiden en expressieve mogelijkheden te verbreden. Wyschnegradsky, die de term “ultrachromatisch” introduceerde voor systemen zoals het 24-toonssysteem, werkte vanuit Parijs en benadrukte in zijn werken de expressieve mogelijkheden van kwarttonen, met name in dramatische passages.
Terwijl componisten als Hába (in zijn strijkkwartetten en opera’s, zoals Matka) en Wyschnegradsky’s (in o.a. zijn pianocomposities) het systeem volledig omarmden, gebruikten anderen kwarttonen sporadisch als kleureffect. Béla Bartók (1881-1945) experimenteerde bijvoorbeeld met kwarttonen in zijn Sonata for Solo Violin, hoewel deze in de uiteindelijke versie grotendeels werden verwijderd.
In Rusland speelde Georgy Rimsky-Korsakov (1901-1965) een prominente rol in de ontwikkeling van kwarttoonsmuziek, door de oprichting van het Petrograd Genootschap voor Kwarttonen in 1923. Hij introduceerde o.a. een kwarttoonharmonium, en organiseerde concerten om kwarttoonsmuziek te promoten. Ook de Italiaanse componist Giacinto Scelsi (1905-1988) maakte vanaf 1956 in bijna al zijn stukken gebruik van de kwarttonen van het 24-toonssysteem. Andere componisten uit de naoorlogse periode, zoals de Hongaars-Oostenrijkse György Ligeti (1923-2006) en Poolse Krzysztof Penderecki (1933-2020), gebruikten kwarttonen meestal als texturale of harmonische toevoegingen. Ligeti’s Ramifications is een bekend voorbeeld waarin kwarttonen als clusters een sleutelrol spelen. 

Kwarttonen spelen ook een rol in geïmproviseerde muziek, zoals jazz. Hier worden kwarttonen vaak gebruikt als expressieve effecten, zoals de “blue notes” van de blues die aansluiten bij het kwarttoonconcept. In de Arabische muziek formaliseerde Mikha’il Mishaqah in de 19e eeuw een systeem met 24 gelijke intervallen per octaaf, waarbij kwarttonen een centrale rol speelden in maqamat (modale systemen), bijvoorbeeld neutrale intervallen als de drie-kwarttoon. In de wereldmuziek, zoals de Indiase 22 Śrutis en soms de Indonesische gamelan, kan het gebruik van kwarttonen en andere microtonale benaderingen ook worden teruggevonden.

Kwarttonen worden genoteerd met specifieke symbolen om ze te onderscheiden van traditionele halve tonen. De eenvoudigste notatie is als volgt:

Wanneer muziek minder abstract is en voorzien is van concrete toonrelaties zijn er meer voortekens nodig. Naast de halfmol en halfkruis om kwarttoon-verlaagde en verhoogde tonen mee aan te duiden is dan ook een driekwartmol/kruis (plus dubbelmol/kruis) gewenst. Hieronder de uitgebreide Tartini-Couper kwarttoonnotatie:

Traditionele instrumenten zijn niet ontworpen voor kwarttonen, waardoor soms speciale instrumenten nodig zijn. Voorbeelden hiervan zijn de kwarttoonpiano met dubbele toetsenborden, gitaren met aangepaste fretten en de dubbelhoorn waarvan de twee geïntegreerde hoorns een kwarttoon verstemd kunnen worden. Ook is de 96-toonspiano (Carrillo-piano) in staat om perfect kwarttonen te spelen, aangezien deze tonen onderdeel zijn van het veel uitgebreidere 96-toonssysteem. 

Het 24-toonssysteem blijft als microtonaal systeem het meest praktisch voor musici en componisten. Met de vooruitgang in digitale technologieën, zoals synthesizers en muzieksoftware, is het in de 21ste eeuw makkelijker dan ooit om kwarttonen te verkennen en te gebruiken. Deze technologische ontwikkeling draagt bij aan de toegankelijkheid en populariteit van het 24-toonssysteem. Hoewel het kwarttoonsysteem een solide basis biedt voor microtonale exploratie, is het uiteindelijk een van de vele systemen binnen de bredere context van microtonaliteit. Critici in het microtonale muziekveld willen het kwarttoonsysteem nog wel eens als een dubbel 12-toonssysteem beschouwen en als een stemming met tweemaal dezelfde ‘slechte’ intervallen. Toch blijft het 24-toonssysteem een van de meest praktische methoden om microtonale muziek te componeren en uit te voeren, doordat op traditionele instrumenten kwarttonen vaak met alternatieve grepen uitgevoerd kunnen worden.

Het 31-toonssysteem

Het 31-toonssysteem, een gelijkzwevende stemming die gebaseerd is op de middentoonstemming, verdeelt het octaaf (van 1200 cents) in 31 gelijke intervallen van ongeveer 38,71 cents per stap. Deze 31 intervallen zijn een vijfde van een hele toon en worden ‘diëzen’ genoemd. Het systeem is wellicht de beste oplossing uit de renaissance en vroege barok voor de problemen met de middentoonstemming, doordat men hiermee wél kan moduleren naar alle toonsoorten. Deze gelijkzwevende 31-toonsstemming biedt een verfijnde benadering van de 1/4-komma-middentoonstemming, omdat de reine kwint wordt getemperd tot 696,77 cents en daardoor slechts 0,19 cents breder is dan in 1/4-komma-middentoonstemming. Dit maakt het 31-toonssysteem uitstekend geschikt voor de benadering van zowel middentoon- als septimale harmonie (harmonieën gebaseerd op de 7-limiet, zoals het harmonisch septiemakkoord), waaronder intervallen zoals 7:6, 8:7 en 7:5, die in andere stemmingen, zoals het 12-toonssysteem, nauwelijks of onnauwkeurig worden weergegeven. Het systeem is tevens geschikt voor onconventionele akkoorden en intervallen, zoals de neutrale terts, die (evenals bijv. het harmonisch septiemakkoord) niet kan worden uitgevoerd in de 12-toons gelijkzwevende stemming. Net als in de middentoonstemming zijn de grote tertsen veel beter gestemd dan in de 12-toons gelijkzwevende stemming. Zo staat dit interval (met een afwijking van slechts +0,79 cents) 12,9 cents dichter bij de reine terts in het 31-toonssysteem dan in het 12-toonssysteem. Ook de kleine terts is met een afwijking van -5,96 cents een substantiële 9,68 cents beter. De kwinten zijn echter iets meer vernauwd, waardoor deze, met een afwijking van -5,19 cents ten opzichte van de zuivere reine kwint in de boventonen, -3,23 cents minder zijn. Hierdoor wint men in het 31-toonssysteem ten opzichte van het 12-toonssysteem dus heel veel terts en verliest men een klein beetje kwint. De harmonische septiem en elfde boventoon zijn daarnaast respectievelijk bijna perfect en redelijk goed te benaderen, wat in het 12-toonssysteem überhaupt onmogelijk is. De harmonische septiem heeft namelijk een afwijking van niet meer dan -1,09 cents ten opzichte van de 7e boventoon. De elfde boventoon kan benaderd worden met een acceptabele afwijking van -9,38 cents.
Hieronder een overzicht van belangrijke intervallen in het 31-toonssysteem en hun afwijkingen ten opzichte van de zuivere boventonen op een rijtje:

• Kleine terts (6:5): 309,68 cents. (afwijking: –5,96 cents) t.o.v. 315,64 cents
• Grote terts (5:4): 387,10 cents (afwijking: +0,79 cents) t.o.v. 386,31 cents
• Reine kwint (3:2): 696,77 cents (afwijking: −5,19 cents) t.o.v. 701,96 cents
• Harmonisch septiem (7:4): 967,74 cents. (afwijking: -1,09 cents) t.o.v. 968,83 cents
• Harmonische elfde toon (11:8): 541,94 cents. (afwijking: -9,38 cents) t.o.v. 551,32 cents

In het 31-toonssysteem ontstaan er oneven halve tonen, omdat de hele tonen zijn verdeeld in vijf diëzen. Dit betekent dat de ene halve toon een grootte heeft van 3/5 van een hele toon en de andere halve toon 2/5 van een hele toon. Hierbij wordt in dit toonsysteem het eerst genoemde grotere interval de diatonische halve toon genoemd en het laatstgenoemde kleinere interval de chromatische halve toon. Door de verdeling van de hele toon in vijf gelijke delen in het 31-toonssysteem, kan men feitelijk spreken van een vijfdetoonsysteem, in plaats van het kwarttoonsysteem als synoniem voor het 24-toonssysteem. Deze vijfdetonen zouden, indien verdeeld over zes conventionele hele tonen in het octaaf, slechts 30 tonen opleveren. Echter, in het 31-toonssysteem maken zes hele tonen geen octaaf, daar is een extra vijfdetoon voor nodig. Bij de verdeling van de vijfdetonen in dit systeem wordt namelijk uitgegaan van de diatonische tonen (witte toetsen op het klavier), waarbij de vijf hele tonen worden verdeeld in vijf vijfdetonen en de twee halve tonen in drie vijfdetonen. Samen opgeteld (5×5 en 2×3) zijn dit 31 tonen in het octaaf. Een belangrijk feit is dat er, door de oneven verdeling van de halve tonen, een vijfdetoon verschil is tussen bijvoorbeeld de tonen Cis en Des, die dus niet enharmonisch gelijk zijn.

De eenvoudigste notatie van het 31-toonssysteem kan met kwarttoonvoortekens van het Tartini-Couper notatiesysteem worden gerealiseerd, omdat de extra vijfdetoon binnen de hele toon ontstaat als gevolg van het feit dat bijvoorbeeld de toon Gis en de toon As verschillende tonen zijn en ook specifiek zo worden genoteerd. In het onderstaande voorbeeld met 31 tonen per octaaf is dit duidelijk te zien:

Een meer geavanceerd notatiesysteem combineert een deel van de Tartini-Couper kwarttoonvoortekens met andere voortekens van Giuseppe Tartini (1692-1770) én Quirinus van Blankenburg (±1654-1739), die de 31 tonen van namen voorzag en enkele voortekens bedacht, zoals voor de halve chromatische verhoging/verlaging.
Hieronder is een overzicht te zien van de uitgebreide 31-toonsnotatie met of alleen kruisen of alleen mollen, welke in partituren gecombineerd kunnen worden:

Het 31-toonssysteem werd theoretisch ontwikkeld door de natuurkundige Christiaan Huygens in de 17e eeuw en praktisch geïmplementeerd door Adriaan Fokker in de 20e eeuw, onder andere via het roemrijke Fokker-orgel, dat in 1950 werd gebouwd en nu beheerd wordt door Stichting Huygens-Fokker. De geschiedenis van het 31-toonssysteem begint echter al in de renaissance van de 16e eeuw, met wortels die zelfs teruggaan tot de oude Grieken, zoals Pythagoras (ca. 570 v.Chr. – ca. 500 v.Chr.) en Aristoxenus (ca. 360 v. Chr. – ca. 300 v. Chr.). Zij bestudeerden toonhoogtes en hun verhoudingen, wat leidde tot systemen die verder gingen dan de diatonische toonladder. Deze ideeën inspireerden later de Italiaanse componist en muziektheoreticus Nicola Vicentino (1511–1576), die in het Rome van 1555 een uitgebreidere middentoonstemming voorstelde met 31 tonen per octaaf, geïnspireerd door zijn wens om de enharmonische en chromatische toonsystemen (zoals het tetrachord) van de oude Grieken te reconstrueren. Hij betoogde dit in zijn beroemdste werk, L’antica musica ridotta alla moderna prattica (‘oude muziek aangepast aan de moderne praktijk’), waarin hij zijn ideeën om hedendaagse werken uit de renaissance te verbinden met de oude Griekse muziektheorie volledig uiteen zette. Dit werk is zowel een theoretische verhandeling over muziek als een verzameling van vier muzikale voorbeelden met 31 tonen in het octaaf die Vicentino’s visie illustreren, waarvan het bekendste deel Musica prisca caput als enige volledig is overgeleverd. Hij ontwierp ook de archicembalo, een klavecimbel met een reeks extra toetsen (met de vijf zwarte toetsen in vieren gedeeld en twee extra toetsen in tweeën) om vijfdetonen te kunnen spelen. Ook liet hij een archiorgano bouwen, een klein orgel met één register gebaseerd op een 31-toonsstemming. Vicentino’s werk en 31-toonsmuziek was revolutionair, maar zijn instrumenten en theorieën vonden door de technische beperkingen van zijn tijd weinig praktische toepassing. Toch was de 31-toonsstemming die Nicola Vicentino voorstelde niet helemaal gelijkzwevend. 

Nadat ook de Italiaanse natuuronderzoeker en botanicus Fabio Colonna (1567-1640) zich had bezig gehouden met 31 tonen in het octaaf, was het de tegenwoordig relatief onbekende Italiaanse wiskundige, filosoof, astronoom en hellenist Lemme Rossi (1601-1673) uit Perugia die in 1666 als eerste een bespreking van de 31-toons gelijkzwevende stemming publiceerde. Onafhankelijk hiervan publiceerde de beroemde Nederlandse wiskundige, natuurkundige, ingenieur, astronoom en uitvinder Christiaan Huygens (1629–1695), die wordt beschouwd als een sleutelfiguur in de wetenschappelijke revolutie van de 17e eeuw, 25 jaar later een meer praktische benadering van het 31-toonssysteem. Hij stelde eveneens een stemming voor waarin een octaaf wordt verdeeld in 31 gelijke stappen en ontdekte via het gebruik van logaritmen dat de 31-toons gelijkzwevende stemming de 1/4-komma-middentoonstemming​​ goed kon benaderen. Christiaan Huygens beschreef deze ideeën in zijn Lettre touchant le cycle harmonique (Rotterdam, 1691) en in Novus cyclus harmonicus (Leiden, 1724). Eerder in 1661 had hij al aantekeningen gemaakt waarin hij onder andere het nauwe verband tussen de middentoonstemming en de 31-toonsstemming aantoonde en de mogelijke consonante aard van de septimale intervallen zoals 4:7 en 5:7 onderkende, die volgens Huygens benaderd konden worden in de middentoonstemming en de 31-toonsstemming. Huygens ontwierp ook een (waarschijnlijk nooit gerealiseerd) toetsinstrument met 31 snaren per octaaf, waarbij een klavier met twaalf normale toetsen per octaaf boven 31 snaren verplaatsbaar was door het verschuiven van het klavier. Tegen de achtergrond van de in opkomst zijnde 12-toons gelijkzwevende stemming vond Huygens het systeem met 31 gelijke intervallen een volwaardig alternatief om naar alle toonsoorten te kunnen moduleren en toch de kwaliteiten van de middentoonstemming te kunnen behouden.

In de twintigste eeuw bracht de Nederlandse fysicus professor Adriaan Fokker (1887-1972) de 31-toons theorieën van Christiaan Huygens tot leven door het ontwerpen en realiseren van een 31-toonsorgel (het Fokker-orgel) en als gevolg daarvan het op gang brengen van een ware 31-toonsbeweging in Nederland. Hij deed onderzoek naar muzikale stemmingssystemen en publiceerde diverse artikelen op dit gebied. Ook legde hij contact met vele wetenschappers en inspireerde menige componist in binnen en buitenland, zoals Ivan Wyschnegradsky, Henk Badings, Alois Hába, Hans Kox, Joel Mandelbaum, etc. Ook gaf hij regelmatig lezingen over onder andere het 31-toonssysteem, waarbij hij indien mogelijk demonstraties gaf op het Fokker-orgel. Dit 31-toonsorgel, dat zich vijftig jaar in het Teylers Musem in Haarlem bevond en sinds 2008 is gehuisvest in het Muziekgebouw aan ’t IJ in Amsterdam, is een technologisch meesterwerk. Het is specifiek gebouwd om de mogelijkheden van 31-toonsstemming te benutten en maakt het mogelijk om zowel traditionele als experimentele composities uit te voeren. Het instrument, gebouwd in 1950, werd een van de belangrijkste instrumenten voor microtonale muziek in algemene zin. Het orgel bevat een 31-toonsklavier met unieke toetsen in zwart, wit en babyblauw, waarmee alle 31 tonen toegankelijk zijn. Daarnaast kan het 31-toonsorgel ook met 12-toonstoetsenborden worden bespeeld en bevat het, na een grootschalige renovatie in 2008/2009, een geavanceerde MIDI-functionaliteit. Hierdoor was het Fokker-orgel tevens een van de eerste hyperorgels ter wereld, aangezien het volledig aangestuurd kan worden door computers. Dit instrument wordt regelmatig bespeeld tijdens concerten, presentaties, demonstraties en educatieve projecten, die worden georganiseerd door Stichting Huygens-Fokker. Naast het Fokker-orgel zijn er ook andere 31-toonsinstrumenten ontworpen, zoals de archifoon, een analoog elektronisch instrument uit 1970 met een enigszins vergelijkbaar toetsenbord als dat van het 31-toonsorgel. Daarnaast is de 31-toonsgitaar, met 19 extra frets in het octaaf, een microtonaal instrument dat relatief eenvoudig te realiseren is door een standaard gitaar aan te passen. Verder zijn digitale synthesizers en muzieksoftware tegenwoordig een belangrijke hulp voor componisten van hedendaagse microtonale muziek en kunnen deze eenvoudig worden aangepast aan het 31-toonssysteem.

Op al deze manieren kan het 31-toonssysteem voor zowel historische als innovatieve muzikale toepassingen worden gebruikt, omdat het de middentoonstemming met zijn zuivere tertsen combineert met de mogelijkheid om vrij te moduleren. Zo maakt het systeem het dus mogelijk om muziek uit de renaissance en (vroege) barok, die oorspronkelijk in middentoonstemming is geschreven, natuurgetrouw uit te voeren. Maar ook hebben 20ste eeuwse componisten zoals Henk Badings en Joel Mandelbaum het systeem omarmd voor nieuwe composities, waardoor unieke klankwerelden zijn ontstaan die buiten de mogelijkheden van het 12-toonssysteem liggen. In de 21ste eeuw heeft het 31-toonssysteem, door de komst van software en nieuwe technologische mogelijkheden, nog meer dan andere microtonele systemen een enorme vlucht genomen, nu veel componisten hierin een manier hebben gevonden om hun eigen muzikale taal van meer expressie te voorzien.

Het 41-toonssysteem

Het 41-toonssysteem, ook wel bekend als 41-toons gelijkzwevende stemming, is een Pythagorese stemming die het octaaf verdeelt in 41 gelijke stappen van elk ongeveer 29,27 cents, waardoor elke stap overeenkomt met een frequentieverhouding van de 41e machtswortel uit 2. Dit levert een zeer fijne onderverdeling van het octaaf en consonantere klanken op, doordat het systeem bepaalde reine intervallen nauwkeuriger benadert dan het 12-toonssysteem. Zo is de reine kwint bijna perfect zuiver, met een afwijking van +0,48 cents (reine kwart dus -0,48 cents). De zuivere grote terts kan in het 41-toonssysteem worden gevonden met een acceptabele afwijking van -5,83 cents. En de beste kleine terts heeft een afwijking van +6,31 cents ten opzichte van de zuivere kleine terts in de boventonen. Verder schuilt er een prima harmonische septiem in het systeem (−2.97 cents afwijking) en een functionele elfde boventoon (+4.78 cents afwijking). De verdeling van de 41 stappen over de zeven diatonische tonen in het octaaf is als volgt: de vijf hele tonen worden verdeeld in zeven stappen en de twee halve tonen in drie stappen.

Bijzonder is dat in het 41-toonssysteem ook de Bohlen-Pierce-toonschaal schuilt, doordat vijf stappen à 29,26 (één stap is 29,268 cents) van dit systeem één ‘macrotonale’ stap à 146,3 cents van de Bohlen-Pierce toonschaal vult, met een afwijking van +0,04 cents. In het 41-toonssysteem maken 40 stappen feitelijk precies het te kleine en onzuivere octaaf (-30 cents) van de ‘non-octave’ BP-schaal compleet.

Wat betreft de notatie van het 41-toonssysteem kan een problematische uitgebreide Pythagorese notatie beter worden vermeden en gebruik worden gemaakt van een notatie met gangbare voortekens en pijlen omhoog en omlaag, welke voor de noten en eventuele voortekens worden geplaatst. Een pijl (of halfpijl) verhoogt of verlaagt de noot met één stap van de 41 stappen en twee pijlen twee stappen. Anders dan in het 31-toonssysteem wordt de bijvoorbeeld de As als een stap lager beschouwd dan de Gis, terwijl dit in de middentoonstemming andersom is.  Ook goed om rekening mee te houden is dat bijvoorbeeld de grote terts C-E een Pythagorese grote terts is (op +1, 94 cents na), waardoor er een verlagend voorteken voor de noot E geplaatst zal moeten worden om de zuivere terts te laten klinken. Zie hieronder een overzicht met de eenvoudigste notatie voor het 41-toonssysteem:

Om dat de gelijkzwevende 41-toonsstemming geen middentoonstemming is, onderscheidt het, in tegenstelling tot het 31-toonsstemming, de klassieke en Pythagorese grote tertsen, samen met de intervallen 10:9 en 9:8. Het is nauwkeuriger in de 13-limiet dan het systeem met 31 gelijkzwevende tonen. Sommige intervallen (komma’s en diesis) worden niet getempereerd in het 41-toonssysteem, zoals de syntonische komma (81:80), waardoor moduleren in dit systeem lastiger kan zijn dan in het 31-toonssysteem.
Adriaan Fokker schreef ooit over dit systeem dat als de waardering van de elfde boventoon in de toekomst groter zou worden, het 41-toonssysteem een interessant alternatief voor het 31-toonssysteem zou kunnen zijn (met een verbetering van 3,55 cents). De Nederlander Dirk de Klerk uit Leiden schreef in 1979, op basis van het boek ‘Musikalische Tonsysteme’ (1927) van E.M. Von Hornbostel, dat de Hongaarse pianist Paul von Jankó (1856–1919), ook uitvinder van het Jankó-klavier (1882), reeds in 1906 een systeem ontwikkelde met 41 intervallen in het octaaf.
Door de constante ontwikkeling van nieuwe instrumenten en (computer)technologieën in de 21ste eeuw wordt het steeds eenvoudiger om het 41-toonssysteem te verkennen en te integreren in de hedendaagse muziekpraktijk.

Het 48-toonssysteem

Het 48-toonssysteem is een gelijkzwevende stemming dat een octaaf in 48 gelijke stappen van elk 25 cents verdeelt. Er wordt in dit geval gesproken van achtstetonen en eventueel van het achtstetoonsysteem. Omdat 48 een veelvoud is van 12, bevat het 48-toonssysteem alle intervallen van het traditionele 12-toonssysteem, maar biedt het extra tussenliggende tonen, zoals kwarttonen en achtstetonen. Dit maakt nauwkeurigere benaderingen van bepaalde intervallen mogelijk. Bij de kwint (3:2) is dit overigens niet nodig, aangezien deze met een afwijking van -1,96 cents even goed in het 48-toonssysteem is als in het 12-toonssysteem. De grote terts (5:4), die in dit systeem 375 of 400 cents kan bedragen, is respectievelijk -11,31 cents te laag of 13,69 cents te hoog ten opzichte van de zuivere grote terts (386,31 cents). De kleine terts (6:5), die 300 of 325 cents kan bedragen, is respectievelijk -15,64 cents te laag of +9,36 cents te hoog ten opzichte van de zuivere kleine terts. Bij beide tertsen is niet heel duidelijk welke variant beter is. De harmonische septiem (7:4) daarentegen is met een afwijking van +6,17 cents in het 48-toonssysteem wel prima te benaderen en is een verbetering ten opzichte van het 24-toonsysteem, waarin de kwarttoon met de beste benadering -18,83 cents te laag is. De elfde boventoon is in beide systemen wel even formidabel, namelijk slechts -1,32 cents te laag. Zij hebben daarom veel overeenkomsten met intervallen die gebaseerd zijn op de elfde boventoon (11:8) van de boventoonreeks. Toch zijn deze benaderingen voor de nieuwe generatie componisten en muziektheoretici, in hun zoektocht naar zuiverdere intervallen, vaak niet meer goed genoeg. Hierdoor is er tegenwoordig minder belangstelling voor het achtstetoonsysteem dan in de 20ste eeuw het geval was.

Ondanks dat hebben in de vorige eeuw belangrijke componisten gebruik gemaakt van achtstetonen. Zo gebruikte Gérard Grisey (1946-1998) microtonale systemen met achtstetonen in werken zoals Partiels (1975, uit Les Espaces Acoustiques) om het klankspectrum en boventonen van instrumenten nauwgezet te modelleren. Tristan Murail (1947) componeerde werken als Ethers (1978), waarin kwart- en achtstetonen worden ingezet om complexe klanklagen te creëren. De spectrale componisten werkten vaak met elektronische analyse van klanken en gebruikten microtonen om natuurkundige akoestische verschijnselen in akoestische muziek te imiteren. Eerder deden Alois Hába en Julián Carrillo al onderzoek naar het gebruik van achtstetonen. Het was in de 20ste eeuw een logische stap om voor avantgardistische muziek de 12 gangbare getempeteerde tonen onder te verdelen tweeën en vieren. Met de herwaardering van consonante muziek in de 21ste eeuw is bij veel componisten echter de focus komen te liggen op systemen met meer zuivere tonen, zoals bijv. de 31-, 53- en 72-toonsstemmingen. Het 48-toonssysteem is wel relevant in de context van MIDI, waar een stap in 48edo bekend staat als een ‘doamu’ (second MIDI-resolution unit, 2mu), wat overeenkomt met vier gelijke verdelingen van een halve toon in het 12edo-systeem.

In de muziekpraktijk wordt de achtstetoon vaak gezien als een onderverdeling van de kwarttoon, van waaruit uitvoerende musici de achtstetoon meestal afleiden. De 96-toonspiano (Carrillo-piano) behoort tot de specifieke microtonale instrumenten die geschikt zijn voor het exact uitvoeren van achtstetonen. De helft van deze 96 tonen behoort namelijk tot het achtstetoonsysteem. Op deze piano kunnen de achtstetonen chromatisch tot klinken gebracht worden door een hele-toonstoonladder te spelen. Hiervan zijn twee varianten. In de notatie van het 48-toonssysteem kunnen speciale voortekens worden gebruikt om de extra microtonen mee aan te duiden. Omdat alle kwarttonen in het 48-toonssysteem voorkomen en dit systeem ook onderdeel is van het 96-toonssysteem, ligt een notatie met een uitbreiding van kwarttoonvoortekens voor de hand. Hierdoor kan de notatie voor 96 tonen worden gebruikt voor het noteren van achtstetonen. Dit komt neer op de standaard kwarttoonnotatie plus de toevoeging van dubbelpijlen ‘op en neer’ van de Sagittal Evo notatie, gecombineerd met de kwarttoontekens van de Tartini-Couper notatie. Zie hieronder een overzicht van de notatie met verhogingen en verlagingen tussen de halve en de hele noot:

Een praktische (Tartini-Couper-Sagittal) 48-toonsnotatie, die op de 96-toonsnotatie is gebaseerd, met de verdeling van de halve en de hele toon

Naast deze wijze van noteren is een notatie met kwarttoonvoortekens van het Tartini-Couper notatiesysteem in combinatie met daaraan verbonden pijlen ook een beproefde optie voor het 48-toonssysteem, mocht er niet voor een 96-toonspiano gecomponeerd worden. Deze komt dan niet overeen met de voorgestelde notatie van het 96-toonssysteem, maar is wel een een notatie die redelijk voor zichzelf spreekt en eenvoudig is om in te studeren, indien men al vertrouwd is met het lezen van de gebruikte kwarttoonvoortekens. Hieronder is een overzicht te zien van de notatie met verhogingen en verlagingen tussen de halve en de hele noot:

Een goed alternatief voor het noteren van muziek in het 48-toonssysteem, met de verdeling van de halve en de hele toon

  • Lees meer over het 96-toonssysteem, waar het 48-toonssysteem een onderdeel van is.
  • Kijk voor meer informatie over de specificaties van het 48-toonssysteem op xen.wiki.

Het 53-toonssysteem

Het 53-toonssysteem is een gelijkzwevende stemming waarin een octaaf wordt verdeeld in 53 gelijke stappen van ongeveer 22,64 cents. Dit systeem heeft de eigenschap dat 53 perfecte kwinten bijna gelijk zijn aan 31 octaven, met een kleine afwijking die bekend staat als de komma van Mercator. Dat maakt het systeem bijzonder geschikt om traditionele verhoudingen uit de reine stemming, zoals de 5-limietverhoudingen, zeer nauwkeurig te benaderen. Omdat een afstand van 31 stappen in deze toonladder bijna precies gelijk is aan een zuivere kwint, kan dit in theorie worden beschouwd als een licht getemperde vorm van de Pythagorese stemming die is uitgebreid tot 53 tonen. De diatonische tonen in het 53-toonssysteem worden als volgt verdeeld: de hele tonen worden verdeeld in 9 stappen en de diatonische halve tonen (e-f en b-c) in 4 stappen. De chromatische halve toon (bijv. c-cis) bestaat vervolgens uit 5 stappen.
Het bijzondere van dit toonsysteem is dat intervallen heel zuiver kunnen worden benaderd. Zo is de kwint met een grootte van 701.89 cents helemaal zuiver (op een te verwaarlozen -0,07 cents na). De grote terts is met 384,91 cents ook bijna zuiver (met een afwijking van -1,40 cents). Dat geldt ook voor de kleine terts met 316,98 cents (afwijking +1,34 cents). Minder traditionele maar prominente intervallen, zoals de harmonisch septiem (973,59 cents met een afwijking van +4,76 cents) en de harmonische elfde toon (543,40 cents met een afwijking -7,92 cents), zijn ook redelijk goed te benaderen. Hierdoor is dit toonsysteem gemiddeld gezien zeer goed. Echter, daar zijn wel 53 tonen per octaaf voor nodig, wat het geheel iets minder praktisch maakt.
Om de 53-toonssysteem te noteren kan gebruik worden gemaakt van de 53-EDO Evo Sagittal notatie, waarin ook traditionele voortekens in opgenomen zijn:

Historisch gezien werd dit systeem al in de oudheid voorgesteld door de Chinese wiskundige Jing Fang (78–37 v. Chr.) en later onafhankelijk herontdekt door de Duits Engelse natuurkundige Nicholas Mercator (ca.1620–1687) in de 17e eeuw. Na Mercator publiceerde William Holder (1616–1698) in 1694 een verhandeling waarin hij erop wees dat de 53 gelijkzwevende stemming ook heel dicht bij de reine grote terts ligt (tot binnen 1,4 cents), en dat de 53 gelijkzwevende stemming bijgevolg heel goed de intervallen van de 5-limiet reine intonatie kan accommoderen. Verder wijzen de ongepubliceerde manuscripten van Isaac Newton (1643-1727) uit 1664-1665 erop dat hij al bewust was van de goede eigenschappen van dit systeem. Hij lijkt te hebben beseft dat de 53-toonsstemming niet alleen perfect aansluit bij de natuurkundige intervallen van kwinten, maar ook een uitstekende benadering biedt voor de grote terts. Later ontwikkelde de Britse wetenschapper Robert Holford Macdowall Bosanquet (1841–1912) een speciaal toetsenbord, de ‘generalized keyboard’, dat geschikt was voor het spelen in 53-toonssysteem. Dit systeem maakt het mogelijk om complexe harmonieën te realiseren die in traditionele 12-toons systemen niet mogelijk zijn. In de moderne tijd werd het verder geanalyseerd door de Japanse musicoloog Shōhei Tanaka (1862-1945), die ontdekte dat het systeem zowel het ‘schisma’ als de ‘kleisma’ (een subtiel intervalverschil) elimineert, waardoor het perfect in lijn staat met de principes van de 5-limiet stemming. De Russische componist Leonid Sabaneyev (1881–1968) stelde de gelijkzwevende 53-toonsstemming voor, omdat dit de zuivere stemming het dichtst zou benaderen en tegelijkertijd kon moduleren naar alle andere toonsoorten.

Tegenwoordig wordt de Nederlands Canadese muziektheoreticus en klavierontwerper Siemen Terpstra (1948) vaak met het 53-toonsstemming in verband gebracht. Zijn speciale aandacht voor dit systeem, het 31-toonssysteem en andere toonsystemen leidde, na diepgaand onderzoek naar de wiskundige structuren van verschillende stemmingssystemen, tot de concepten van innovatieve muziekinstrumenten en notatiesystemen die het spelen en begrijpen van microtonale systemen vereenvoudigen. Een van zijn meest opmerkelijke creaties is het ‘Terpstra Keyboard’, een ergonomisch ontworpen muziekinstrument dat is geoptimaliseerd voor het uitvoeren van microtonale muziek en in het bijzonder 53-toonsmuziek. Dit toetsenbord integreert belangrijke historische doorbraken in het ontwerp en biedt musici de mogelijkheid om met grotere flexibiliteit en precisie binnen toonsystemen te spelen. Het was door zijn ideeën dat er in de jaren 2010 in Canada is begonnen met de productie van het ‘Lumatone-keyboard’, dat gebaseerd is op Terpstra’s belangrijke ontwerp. Met dit instrument is voor het eerst een masterkeyboard voor microtonale muziek de standaard geworden en kan er eindelijk op mondiaal niveau in het 53-toonssysteem gemusiceerd worden. 

Het 72-toonssysteem

Het 72-toonssysteem, ook bekend als de gelijkzwevende 72-toonsstemming, verdeelt het octaaf in 72 gelijke intervallen. Elk interval in dit systeem heeft een grootte van ongeveer 16,67 cents, waarmee de natuurlijke boventonen vele malen preciezer benaderd kunnen worden dan met de 12-toonsverdeling die wordt gebruikt in standaard westerse muziek. In wetenschappelijk opzicht is het 72-toonssysteem daarom opmerkelijk vanwege zijn wiskundige structuur. In het systeem zit ook het 36- en 18-toonssysteem verscholen, respectievelijk zesde- en derdetonen. Maar ook de kwarttonen van het 24-toonssysteem, die weer in drie kleine stapjes worden verdeeld van ieder een 1/72 toon. Dit microtonale systeem wordt vaak gebruikt in experimentele muziek vanwege zijn veelzijdigheid en zijn vermogen om nauwkeurig zowel de septimale kleine terts (7:6-verhouding met een afwijking van minder dan 1 cent) als kwarttoonintervallen weer te geven, maar ook verbeterde nauwkeurigheid voor traditionele harmonieën en andere stemmingstheorieën, zoals ontwikkeld door componisten als Alois Hába en Harry Partch. Zo is de kwint, net als in het 12-toonssysteem, met een grootte van 700 cents behoorlijk zuiver (met een afwijking van -1,96 cents). De grote terts is met 383,33 cents ook bijna zuiver (met een afwijking van -2,98 cents). Dat geldt nog meer voor de kleine terts met 316,67 cents (afwijking +1,03 cents). Minder traditionele, zoals de harmonisch septiem (966,67 cents met een afwijking van -2,16 cents) en de harmonische elfde toon (550 cents met een afwijking -1,32 cents), zijn ook uitstekend te benaderen, waardoor dit toonsysteem gemiddeld gezien zeer goed is. Hier zijn echter wel 72 tonen per octaaf voor nodig, wat het geheel minder praktisch maakt. De 72-toonsstemming wordt soms vergeleken met onder meer de 31-toonsstemming vanwege de veelzijdigheid om zowel traditionele als niet-traditionele harmonieën te realiseren. 

Praktisch gezien vereist het gebruik van het 72-toonssysteem vaak aangepaste instrumenten of elektronische synthesizers. Sommige kwarttooninstrumenten en microtonale toetsenborden kunnen intervallen binnen dit systeem uitvoeren, maar vaak niet alle. Dankzij moderne technologie is het echter gemakkelijker geworden om de complexe harmonische structuren van het 72-toonssysteem te gebruiken in composities en uitvoeringen, zodat nieuwe muzikale expressies mogelijk worden.

Wat betreft de notatie van het 72-toonssysteem zijn er diverse initiatieven geweest. De twee standaardnotaties zijn onafhankelijk van elkaar ontwikkeld in Oostenrijk en de Verenigde Staten, waar bekende 72-toonsbewegingen plaatsvonden. Zo heeft de Oostenrijkse beweging voor Ekmelische Musik oorspronkelijk een notatie met pijlen boven de noten, terwijl normale voortekens nog altijd voor de noten worden geplaatst. De pijlen geven feitelijk de afwijkingen van de gelijkzwevende 12-toonsstemming aan. In deze ekmelische notatie heeft een pijl en een dubbelpijl de omgekeerde functie ten opzichte van vergelijkbare Sagittal tekens in de notatie van het 96-toonsstysteem. De dubbelpijl geeft de kleinste verhoging aan, te vergelijken met een vlaggetje van een 16e noot, terwijl de Sagittal dubbelpijl juist staat voor een dubbele verhoging. Dit kan tot verwarring leiden. In de notatie van Sims wordt geen dubbelpijl gebruikt, maar wel een normale pijl en afgeleiden daarvan die voor de noot geplaatst worden. De verschillen tussen de ekmelische notatie van het 72-toonssysteem en de notatie van Ezra Sims is in het overzicht hieronder te zien.

Het 72-toonssysteem heeft historische wortels in zowel de theorie als de praktijk. Het is een uitbreiding van ideeën over microtonaliteit, die al voor het eerst werden onderzocht in de 16e eeuw. In de 20e eeuw werd het systeem verder ontwikkeld en gepromoot door componisten zoals Franz Richter Herf, Joe Maneri en Ezra Sims, die geïnteresseerd waren in het uitbreiden van de mogelijkheden van het conventionele tonale systeem. In Boston (Verenigde Staten) was jazzsaxofonist, klarinettist, pianist en componist Joe Maneri (1927–2009) bekend om zijn pionierswerk in de microtonale muziek, o.a. als oprichter van de Boston Microtonal Society in 1988. Hij ontwikkelde een systeem gebaseerd op de 72-toons gelijkzwevende stemming en werd beïnvloed door zijn studie van Turkse en Albanese muziek, die kwarttonen en andere microtonale intervallen bevatten. Hij ontwierp een aangepast keyboard met 72 toetsen per octaaf om deze intervallen nauwkeurig te kunnen spelen. Daarnaast doceerde hij microtonale muziek aan het New England Conservatory in Boston, waar hij studenten leerde componeren en improviseren binnen het 72-toonssysteem. Zijn ideeën presenteerde hij ook aan het Mozarteum in Salzburg en de Harvard University nabij Boston. De Amerikaanse componist Ezra Sims (1928–2015) was ook een pionier die reeds in 1960 begon met het componeren van microtonale stukken. Later ontwikkelde hij een systeem van asymmetrische modi met 18 tonen per octaaf, gebaseerd op een verdeling van het octaaf in 72 gelijke delen, waarmee hij sinds 1971 uitsluitend componeerde. Dit systeem stelde hem in staat om nauwkeurige benaderingen van boventoonintervallen te gebruiken en nieuwe expressieve mogelijkheden te verkennen. Sims ontwierp ook een notatiesysteem voor deze microtonale muziek, dat later werd overgenomen door andere componisten, waaronder Joseph Maneri. Ook Sims woonde en werkte in de omgeving van Boston.

In het Oostenrijkse Salzburg werd de beweging van de Ekmelische Musik opgericht door componisten Franz Richter Herf (1920-1989) en Rolf Maedel (1917-2000), die voor dit doel samen in 1974 een elektronische fijnstemmingsorgel ontwikkelden in het ‘Mozarteum’ te Salzburg, waar Richter Herf van 1979 tot 1983 rector was. De term ‘ekmelisch’ komt van het Griekse ‘ekmelēs’, wat ‘onzuiver’ of ‘niet harmonisch’ betekent, en verwijst naar muziek die gebruikmaakt van microtonale systemen buiten de traditionele 12-toonsstemming. De beweging richtte zich op het verkennen en componeren van muziek in het 72-toonssysteem, om nieuwe expressieve mogelijkheden te ontdekken. Richter Herf en Maedel publiceerden werken en organiseerden evenementen om de theorie en praktijk van de Ekmelische Musik te bevorderen, waaronder het internationale symposium ‘Mikrotöne’ in 1985. Daarna was het componist en musicus Johannes Kotschy (1949) die een prominente rol ging spelen binnen de ekmelische beweging in Salzburg. Onder zijn leiding werd in 1995 een nieuw Ekmelisch Orgel gebouwd door orgelbouwer Walter Senn, in opdracht van de International Ekmelic Music Society. Dit orgel was een verdere ontwikkeling en verfijning van het oorspronkelijke concept en werd gepresenteerd tijdens het ‘1e Internationales Symposium Mikrotöne’ in Salzburg in 1995. Tot op heden organiseert de ekmelische beweging nog steeds concerten en symposia.

Zowel Maneri en Sims als de Ekmelische Musik-beweging hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van het 72-toonssysteem, zij het in verschillende muzikale contexten en geografische locaties. Hun werk heeft de weg vrijgemaakt voor verdere exploratie van microtonaliteit in zowel jazz als hedendaagse klassieke muziek.

Het 96-toonssysteem

Het 96-toonssysteem, een microtonale stemming die een octaaf verdeelt in 96 gelijke stappen, vindt zijn oorsprong in experimenten met kwarttonen en de verdere verdeling daarvan. Dit systeem verdeelt elke halve toon in acht gelijke stappen en hele toon in 16 stappen, wat neerkomt op intervallen van 1/16 toon, waardoor het mogelijk wordt om zeer subtiele intervallen te creëren. De verdeling van een octaaf in 96 gelijke delen betekent dat de stapgroottes 12,5 cents (een cent is 1/100 van een halve toon in de 12-toonsschaal) zijn. In vergelijking met het standaard 12-toonssysteem, waarbij elke stap 100 cents is, biedt het 96-toonssysteem nieuwe mogelijkheden voor expressie. In het 96-toonssysteem worden diverse intervallen als bijzonder interessant beschouwd vanwege hun nabijheid tot zuivere harmonische verhoudingen. Zo worden de kleine terts (6:5) en grote terts (5:4) zeer nauwkeurig benaderd (resp. -3,14 en +1,19 cents afwijking). De kwint (3:2) is hetzelfde en even goed als in het 12-toonssysteem (-1,96 cents afwijking). De harmonische zevende (7:4) is in dit systeem ook redelijk goed te benaderen (+6,17 cents afwijking). En verhoudingen zoals de septimale grote terts (9:7) of de harmonische elfde toon (11:8), die in 12-toons gelijkzwevende stemming feitelijk niet kunnen worden verklankt, zijn in het 96-toonssysteem zeer precies (resp. +2,42 en -1,32 cents afwijking). Dit opent de deur naar het gebruik van intervallen die in standaard muziek nauwelijks te horen zijn. Ook maakt het systeem andere microtonale intervallen mogelijk, zoals een kwarttoon (50 cents) en achtstetoon (25 cents), aangezien het 24- en 48-toonssysteem verscholen liggen in het 96-toonssysteem. En uiteraard kan de kleinste afstand, de 16e toon (12,5 cents), tot klinken gebracht worden, wat als ultrachromatische toonladder een heel mysterieuze klank oplevert. 

Het systeem wordt vaak in verband gebracht met de Mexicaanse componist, violist en theoreticus Julián Carrillo (1875-1965), een pionier in microtonale muziek. Hij introduceerde het concept van microtonale muziek in zijn werk “El Sonido 13” (De Dertiende Toon) en ontwikkelde speciale instrumenten, zoals aangepaste snaarinstrumenten (Carrillo-harp) en piano’s, om zijn ideeën te kunnen realiseren. In de jaren ’90 bouwde de Duitse pianobouwer Sauter opnieuw een beperkte reeks van deze 1/16-toonspiano’s, specifiek voor de uitvoering van Carrillo’s muziek. Stichting Huygens-Fokker is sinds 2011 de trotse eigenaar van één van deze piano’s. Hierdoor is een bescheiden 96-toonsbeweging ontstaan rond het instrument. Zijn werk inspireerde latere componisten en theoretici, hoewel de praktische toepassing van het 96-toonssysteem vaak beperkt bleef door de complexiteit van de instrumentatie.

Wat betreft de notatie van het 96-toonssysteem zijn er verschillende initiatieven geweest. Julián Carrillo ontwikkelde zelf voor zijn 96-toonssysteem een unieke cijfernotatie om de microtonale intervallen nauwkeurig vast te leggen. In deze notatie worden de traditionele noten vervangen door cijfers die de toonhoogtes aangeven, waarbij elk cijfer correspondeert met een specifieke frequentie in het 96-toonssysteem. Deze benadering moest musici in staat stellen om Carrillo’s composities exact te interpreteren. In de praktijk bleken deze partituren niet zo eenvoudig te lezen. De partijen van de 96-toonspiano (Carrillo-piano) met 97 toetsen worden standaard hetzelfde genoteerd als die van conventionele piano’s. Dat betekent dat de volledige omvang van één octaaf (van c’-c”) van deze piano wordt verdeeld en genoteerd over acht octaven, waardoor in principe iedere goed geoefende pianist de partijen kan uitvoeren. De notatie van de klinkende tonen in de partituur vergt echter een andere notatie. Aangezien het 96-toonssysteem een verdere verdeling is van de kwarttonen van het 24-toonssysteem, is het logisch dat de bijbehorende voortekens als basis worden genomen; in dit geval de voortekens van het Tartini-Couper notatiesysteem. Deze tonen en voortekens kunnen vervolgens verder onderverdeeld worden met halve pijlen en dubbelpijlen uit Sagittal notatiesystemen. Zie hieronder een voorbeeld van de meest praktische 96-toonsnotatie: 

De meest praktische door Stichting Huygens-Fokker voorgestelde (Tartini-Couper-Sagittal) 96-toonsnotatie, met de verdeling van de halve en de hele toon

De Bohlen-Pierce-toonschaal

De Bohlen-Pierce-toonschaal (of BP-schaal) is een alternatieve muzikale stemming die afwijkt van het traditionele octaafsysteem door het gebruik van de ’tritave’, een frequentieverhouding van 3:1, als basisinterval in plaats van de octaafverhouding van 2:1. Dit betekent dat een toon met een frequentie drie keer hoger dan een andere als equivalent wordt beschouwd, in plaats van twee keer hoger zoals bij het octaafsysteem. De schaal verdeelt deze tritave in 13 gelijke stappen, wat resulteert in een 13-toonssysteem dat gelijkmatig de tritave verdeelt (13-EDT). Elke stap in deze schaal vertegenwoordigt een frequentieverhouding van 3^(1/13), wat neerkomt op ongeveer 146,3 cents per stap. Dit staat in contrast met het traditionele 12-toons gelijkzwevende systeem, waar elke stap (halve toon) ongeveer 100 cents bedraagt.
Een opvallend kenmerk van de Bohlen-Pierce-schaal is de nadruk op oneven boventonen (harmonischen), zoals de 3e, 5e en 7e boventoon, terwijl de even boventonen worden vermeden. Dit resulteert in een klankkleur die verschilt van die in het traditionele octaafsysteem, waar zowel even als oneven boventonen worden gebruikt. De afwezigheid van octaven en de focus op oneven boventonen geven de Bohlen-Pierce-schaal een unieke sonische kwaliteit.
Er zijn twee hoofdvarianten van de Bohlen-Pierce-schaal: de gelijkzwevende versie (13-EDT) en de zuivere intonatieversie. In de gelijkzwevende versie worden de 13 stappen gelijkmatig verdeeld over de tritave, terwijl in de zuivere intonatieversie specifieke frequentieverhoudingen worden gebruikt die zijn gebaseerd op eenvoudige breuken zonder factoren van 2, wat resulteert in een schaal zonder octaven en zonder even boventonen. Een opmerkelijk gegeven is dat in het 41-toonssysteem ook de Bohlen-Pierce-toonschaal schuilt, doordat vijf stappen à 29,26 (één stap is 29,268 cents) van dit systeem één ‘macrotonale’ stap à 146,3 cents van de Bohlen-Pierce toonschaal vult, met een afwijking van +0,04 cents. Deze twee toonsystemen gaan dus prima samen.

Wat betreft de notatie van de BP-schaal zijn er in het verleden verschillende voorstellen gedaan. Manuel Op de Coul en Georg Hajdu ontwikkelden onafhankelijk van elkaar een notatie voor het systeem. Een overzicht van de klinkende toonhoogtes (in cents) van de BP-schaal (13-EDT) is hieronder weergegeven:

De Bohlen-Pierce-schaal is ontdekt en ontwikkeld door verschillende onderzoekers, te weten Heinz Bohlen, John Pierce en Kees van Prooijen, die onafhankelijk van elkaar bijdroegen aan de formulering en popularisering van dit systeem, wat heeft geleid tot een hernieuwde interesse in alternatieve stemmingssystemen. De ontwikkeling van de Bohlen-Pierce-schaal weerspiegelt een gezamenlijke zoektocht naar alternatieve muzikale expressie, los van de beperkingen van het traditionele octaafsysteem.
Heinz Bohlen (1935–2016) was een Duitse ingenieur gespecialiseerd in microgolf-elektronica en communicatietechnologie. Begin jaren zeventig raakte hij geïnteresseerd in alternatieve stemmingssystemen nadat hij betrokken raakte bij het opnemen van concerten aan de Hochschule für Musik und Theater in Hamburg. Zijn nieuwsgierigheid naar waarom muziek uitsluitend gebruikmaakte van het 12-toons gelijkzwevende systeem leidde hem tot het onderzoeken van andere mogelijkheden. In 1972 introduceerde hij de Bohlen-Pierce-schaal, gebaseerd op de tritave in plaats van het octaaf. Sinds 2008 beheert Stichting Huygens-Fokker de BP-website van Heinz Bohlen en is zij in het bezit van zijn fysieke archief met originele artikelen en geschriften.
John R. Pierce (1910–2002) was een Amerikaanse ingenieur en auteur, vooral bekend om zijn werk op het gebied van elektronica en communicatie. In 1984 ontdekte hij, eveneens onafhankelijk, de Bohlen-Pierce-schaal. Bij het publiceren van zijn bevindingen, samen met collega’s zoals Max Mathews, erkende hij het eerdere werk van Bohlen en noemde de schaal de ‘Bohlen-Pierce-schaal’. Kees van Prooijen (1952), een Nederlandse software-ingenieur, kunstenaar en microtonale theoreticus, ontdekte in 1978 onafhankelijk dezelfde schaal. Hij is ook bekend om zijn bijdrage aan de microtonale theorie, waaronder het ontwikkelen van de ‘Kees height’, een maat voor de complexiteit van toonhoogteklassen in reine intonatie.

In de praktijk is de Bohlen-Pierce-schaal toegepast op verschillende muziekinstrumenten, zoals aangepaste gitaren, klarinetten en elektronische instrumenten, die zijn ontworpen of aangepast om de specifieke vereisten van deze stemming te accommoderen. Zo is er de ‘Stredici’ ontwikkeld, een snaarinstrument ontworpen door David Lieberman. Maar ook de Bohlen-Pierce-klarinet, bespeeld door pionierende musici zoals Nora-Louise Müller en Ákos Hoffman. Daarnaast heeft Elaine Walker aangepaste MIDI-keyboards voor de Bohlen-Pierce-schaal ontwikkeld en heeft als elektronisch musicus en microtonale componist verschillende stukken in deze schaal gecomponeerd, net als haar inspirator Richard Boulanger. Ook componist Georg Hajdu heeft de mogelijkheden van de Bohlen-Pierce-schaal  toegepast in zijn muziek. Andere componisten zijn o.a. Curtis Roads, Juan Reyes, Ami Radunskaya, Manfred Stahnke en Charles Carpenter.

Het begrijpen en toepassen van de Bohlen-Pierce-schaal vereist een verschuiving in het traditionele denken over muziek en harmonie, aangezien het systeem fundamenteel verschilt van het conventionele octaafsysteem. Voor professionele musici biedt het niet-octaaf gebaseerde muzieksysteem echter een uitdagend en verrijkend alternatief om innovatieve muzikale ideeën te ontwikkelen.

  • Lees meer over de Bohlen-Pierce-toonschaal op de BP-website van Heinz Bohlen, die gefaciliteerd wordt door Stichting Huygens-Fokker
  • Kijk voor uitgebreidere informatie over de Bohlen-Pierce-toonschaal op wiki and xen.wiki.

Overige interessante toonsystemen


• Het 5-toonssysteem
Het 5-toonssysteem is een 5-toons gelijkzwevende stemming die het octaaf verdeelt in vijf gelijke delen van elk 240 cents. Dit betekent dat elke stap overeenkomt met een frequentieverhouding van de vijfde machtswortel uit 2. De kwint beslaat 720 cents, wat +18,04 cents afwijkt van de zuivere reine kwint. Een grote terts is niet aanwezig in het systeem. Wel komt de eerste stap dicht bij de septimale kleine terts (-26,87 cents afwijking) of de septimale hele toon (+8,83 cents afwijking). Verder is er een te kleine kwart met een afwijking van -18,04 cents in het systeem aanwezig. De vijfde toon in het systeem benaderd de harmonische septiem redelijk goed, met een afwijking van -8,83 cents. Het 5-toonssysteem is opmerkelijk omdat het de kleinste gelijkzwevende stemming is die microtonale intervallen bevat (2-, 3- en 4-toons gelijkzwevende stemmingen zijn namelijk onderdeel van de 12-toonssysteem). Volgens de gerenommeerde Nederlandse etnomusicoloog Jaap Kunst (1891-1960) zijn Indonesische gamelans gestemd in vijf gelijke delen binnen het octaaf. Maar vaak varieert hun stemming sterk en bevatten ze zelfs uitgerekte octaven. Alleen het Indonesische ‘slendro’ lijkt enigszins op een 5-toons gelijkzwevende stemming. Feit is wel dat de bouwers van gamelaninstrumenten zich onderscheiden met hun eigen klankkleur. Daarmee wordt dikwijls niet een andere klank bedoeld, maar net een andere stemming, waardoor dit niet in een hokje te plaatsen valt. Het zwevende geluid van o.a. gongs, xylofoon- en klankschaal-achtige instrumenten maakt de exacte stemming van de tonen in het gamelan ensemble van ondergeschikt belang. 
Tijdens de Wereldtentoonstelling van 1889 in Parijs maakte Claude Debussy kennis met de gamelanmuziek uit Java, met daarin niet-westerse pentatonische toonladders. Geïnspireerd door deze klanken ontwikkelde hij de hele-toonstoonladder, een 6-toonssysteem binnen de12-toons gelijkzwevende stemming, waarin alle tonen op gelijke afstand van elkaar staan (200 cents). Hierdoor ontstond een vergelijkbare richtingloze klank die kenmerkend is voor zijn impressionistische stijl.
(Meer specificaties op xen.wiki)

• Het 17 en 34-toonssysteem
Het 17-toonssysteem, ook wel bekend als 17-toons gelijkzwevende stemming, verdeelt het octaaf in 17 gelijke stappen, waarbij elke stap een frequentieverhouding heeft van de 17e machtswortel uit 2, wat neerkomt op ongeveer 70,6 cents. Dit systeem werd in de 13e eeuw theoretisch beschreven door de Midden-Oosterse musicus Safi al-Din Urmawi, die een systeem van zeventien tonen ontwikkelde om Arabische en Perzische muziek te beschrijven, hoewel deze tonen niet gelijkmatig over het octaaf waren verdeeld. In de moderne tijd heeft de Amerikaanse componist Easley Blackwood Jr. (1933-2023) een eenvoudig notatiesysteem voor het 17-toonssysteem voorgesteld, waarbij de enharmonische equivalenten verschillend zijn van die in de 12-toonsstemming, omdat bijvoorbeeld de toon Fis en de toon Ges niet gelijk zijn. Hetzelfde geldt ook voor deze tonen in onder andere het 31-toonssysteem. Wat echter wel anders is, is dat in het 17-toonssysteem de Ges lager is dan de Fis.  Dit gegeven resulteert visueel gezien in een afwijkende chromatische schaal. Een belangrijk aspect van het 17-toonssysteem is hoe de verschillende zuivere intervallen worden benaderd. Zo is de kleine terts (6:5) met een afwijking van -33,29 cents veel te klein, de grote terts (5:4) met een afwijking van -33,37 cents ook veel te klein, de reine kwint (3:2) met een afwijking van slechts +3,93 cents opvallend goed, het harmonisch septiem (7:4) met een afwijking van +19,41 cents onbruikbaar te groot en is de elfde boventoon (11:8) met een afwijking +13,39 cents op de grens van bruikbaar.
Het 17-toonssysteem is tevens onderdeel van het 34-toonssysteem, dat het octaaf verdeelt in 34 gelijke stappen, met elke stap gelijk aan de 34e machtswortel uit 2, of ongeveer 35,29 cents. In tegenstelling tot andere stemmingen zoals 19, 31 of 53 tonen per octaaf, die voortkomen uit oudere muziektheorieën, ontstond de 34-toonsverdeling niet ‘natuurlijk’ uit oudere muziektheorieën. De eerste erkenning van het potentieel van 34-toonssysteem verscheen in een artikel uit 1979, getiteld ‘Equal Temperament’, van de Nederlandse muziektheoreticus Dirk de Klerk. De benaderingen van de boventonen in het 34-toonssysteem zijn namelijk veel preciezer dan in het 17-toonssysteem, waar overigens wel 17 extra tonen voor nodig zijn. Zo heeft de kleine terts (6:5) een afwijking van slechts +2,01 cents, de grote terts (5:4) een afwijking van niet meer dan +1,92 cents, de reine kwint (3:2) een afwijking van 3,93 cents, het harmonisch septiem (7:4) een afwijking van -15,89 cents en de elfde boventoon (11:8) een afwijking +13,39 cents. Samengevat zijn dit mooie specificaties voor consonante muziek in de 5-limiet. (Meer specificaties op wiki/xen.wiki)

• Het 22-toonssysteem
Het 22-toonssysteem, ook wel bekend als 22-toons gelijkzwevende stemming (22-TET), verdeelt het octaaf in 22 gelijke stappen van elk ongeveer 54,55 cents. Dit systeem werd in de 19e eeuw geïntroduceerd door de Engelse muziektheoreticus R.H.M. Bosanquet (1841-1912), die zich liet inspireren door de 22-toonsindeling in de Indiase muziektheorie en opmerkte dat een gelijke verdeling in 22 stappen per octaaf de muziek binnen de 5-limiet met redelijke nauwkeurigheid kon weergeven. In het 22-toonssysteem wijken de kleine terts (6:5) en de grote terts (5:4) respectievelijk +11.63 en −4.49 cents af van hun reine tegenhangers, terwijl de reine kwint (3:2) ongeveer +7.14 cents scherper is. De harmonische septiem (7:4) wordt met +12,99 cents redelijk benaderd en de elfde boventoon (11:8) is met −5.87 cents behoorlijk precies. Een opmerkelijk kenmerk van dit systeem is dat het de syntonische komma (81:80) niet tempert, maar juist vergroot tot één stap, waardoor het onderscheid tussen grote en kleine hele tonen behouden blijft. Er zijn verschillende notaties voor dit toonsysteem. Het 22-toonssysteem biedt de mogelijkheid om nieuwe muzikale territoria te verkennen, terwijl het goede benaderingen van consonanties uit de gangbare praktijk behoudt. (Meer specificaties op wiki/xen.wiki)

• Het 26-toonssysteem
Het 26-toonssysteem is een gelijkzwevende stemming die het octaaf verdeelt in 26 gelijke stappen van ongeveer 46,15 cents. Een belangrijke eigenschap van het systeem is de nauwkeurige benadering van de harmonische septiem (7:4), met een afwijking van een te verwaarlozen +0,4 cents. Ook de elfde boventoon is goed met een afwijking van +2,53 cents. Hoewel het een middentoonstemming is, is het verder een zeer vlakke stemming, doordat de syntonische komma (81/80) wordt getemperd in de 5-limiet. Hierdoor vormen vier gestapelde reine kwinten, met ieder een afwijking van -9,65 cents, een grote terts die ongeveer 17 cents te laag is (gelijkgesteld aan de neutrale terts van 11:9). Het systeem kan ook worden gezien als twee parallelle 13-toonssystemen en biedt twee typen kleine tertsen en twee kleine sexten. De Nederlandse violist, muziektheoreticus en microtonale denker Leo de Vries (1924-2018), die vele geschriften heeft geschreven, kwam na een leven lang microtonaal onderzoek vlak voor zijn dood op 94-jarige leeftijd tot de onverwachte conclusie dat het 26-toonssysteem van unieke kwaliteit was. (specs: xen.wiki)

• Het 36- en 18-toonssysteem
Het 36-toonssysteem is een gelijkzwevende stemming waarbij elke hele noot in zes stappen van 33,33 cents is verdeeld, waardoor men spreekt van zesdetonen en zelfs van het zesdetoonsysteem. Het 36-toonssysteem is een verdubbeling van het 18-toonssysteem met derdetonen. De behoefte aan 36 tonen ontstond in de 20ste eeuw mede door onvrede over deze gelijkzwevende 18-toonsstemming, doordat dit systeem de mogelijkheden om klassieke halve tonen te spelen ontbeerde, aangezien iedere hele toon in drieën gedeeld wordt. Het gevolg was dat de klank van derdetonen als schraal en pover ervaren werden en er slechts gedeeltelijk conventionele klanken mee uitgevoerd konden worden die op de gelijkzwevende 12-toonsstemming gebaseerd waren. Zo zijn de kwart en de kwint in het 18-toonssysteem met een afwijking van 31,38 cents feitelijk onbruikbaar binnen consonante harmonieën. Ferruccio Busoni (1866-1924) experimenteerde in Berlijn tijdens de eerste decennia van de 20ste eeuw al met derdetonen en zesdetonen, waarvan zijn geschrift ‘Sketch of a New Aesthetic of Music’ duidelijk getuigde. Rond dezelfde tijd ging de Tsjech Alois Hába (1893-1973), aangemoedigd door Busoni, zich ook bezig houden met de driedeling van de tonen. Zowel Busoni als Hába had in de 1920er jaren een toetseninstrument laten bouwen die in deze stemming bespeeld kon worden. Hába wist zijn ideeën echter daadwerkelijk in praktijk te brengen. Zo componeerde hij naast drie strijkkwartetten, een vioolduo en twee solostukken voor respectievelijk viool en cello met zesdetonen, ook nog de opera ‘Přijď královtví Tvé’ (‘Zukomme uns den Reich’) in zeven aktes uit 1942 met zesdetonen. Ook schreef hij onder meer in zijn boek ‘Neue Harmonielehre’ over derde en zesde tonen en daarnaast zelfs over de twaalfde tonen van het 72-toonssysteem, waarvan het 36-toonssysteem feitelijk een onderdeel is. Naast Hába heeft ook Ivan Wyschnegradsky (1893-1979) met o.a. ‘Music for three pianos in sixths of tones’ in dezelfde periode een flinke bijdrage geleverd aan het repertoire van de gelijkzwevende 36-toonsstemming, waarbij zijn pansonore klankcontinuüm in plaats van 36 tonen zelfs maximaal 72 tonen kon tellen. Ook door de Franse spectralisten, zoals Gerard Grisey (1946-1998) en Tristan Murail (1947), worden kwarttonen en zesdetonen gebruikt, in een poging de natuurlijke boventonen te reconstrueren. (specs: xen.wiki)

• Het 43-toonssysteem
Het 43-toonssysteem is bekend als gelijkzwevende stemming en als de ongelijkzwevende stemming van Harry Partch. De gelijkzwevende variant verdeelt het octaaf in 43 gelijke delen, met een stapgrootte van ongeveer 27,9 cents. Dit systeem tempert de syntonische komma (81/80) in de 5-limiet en is verwant aan de 1/5-komma middentoonstemming en wordt vaak geassocieerd met zowel de 7- als de 11-limiet tempereringen. Het 43-toonssysteem heeft gemiddeld gezien redelijk goede benaderingen van de zuivere boventonen. De grote terts (5:4) in het systeem heeft een afwijking van +4,39 cents, de kleine terts (6:5) heeft een afwijking van -8,66 cents, de reine kwint (3:2) een afwijking van -4,29 cents, de harmonische septiem (7:4) van +7,91 cents en de 11e boventoon (11:8) van +6,82 cents. Omdat het 43-toonssysteem een middentoonsysteem is, is het makkelijker om de traditionele westerse notatie hierop aan te passen dan op andere stemmingen. De A♯ en de B♭ zijn bijvoorbeeld verschillend (resp. laag en hoog) en de afstand tussen hen is één meride (1/43 van een octaaf). Van de zeven diatonische tonen in het octaaf zijn de vijf hele tonen verdeeld in zeven merides en de twee halve tonen in vier merides, wat samen uitkomt op 43 tonen.
Het systeem van 43 gelijke tonen in het octaaf werd reeds in de 17e eeuw bepleit door de Franse wiskundige, natuurkundige en akoesticus Joseph Sauveur (1653-1716). Hij introduceerde het idee van 43 evenredige stappen om kleinere intervallen nauwkeuriger weer te geven, waarbij hij één stap een ‘méride’ noemde. Ook bedacht hij onder andere de ‘eptaméride’, wat een zevende deel van een méride was. Tevens was hij de bedenker van de term ‘acoustique’ (akoestiek). Vreemd genoeg had Saveur een gehoor- en spraakstoornis, maar ondanks dat staat hij bekend om zijn gedetailleerde studies over geluid. (Meer specificaties op xen.wiki)

• De 43-toonsschaal van Harry Partch
De 43-toonsschaal van Harry Partch is een ongelijkzwevende stemming met 43 tonen in het octaaf, ontwikkeld door de Amerikaanse muziektheoreticus en componist Harry Partch (1901-1974). Het is een microtonale schaal die het octaaf verdeelt in 43 ongelijke stappen. In tegenstelling tot de traditionele 12-toons gelijkzwevende stemming, waar het octaaf in twaalf gelijke delen wordt verdeeld, streefde Partch naar een systeem dat dichter bij de natuurlijke boventoonreeks staat. Zijn microtonale schaal komt voort uit de 11-limiet zuivere intonatie, waarbij de intervallen worden gedefinieerd door eenvoudige breukverhoudingen, zoals 3:2 voor de reine kwint, 5:4 voor de grote terts en 7:4 voor de harmonische septiem. Een intervallensprong zoals 11:8 (de 11e boventoon) is specifiek 551,32 cents in Partch’s systeem. Deze benadering leidt tot intervallen die harmonischer en natuurlijker klinken, maar resulteert ook in een complexer systeem met ongelijke toonafstanden. Het 43-toonssysteem van Partch is gebaseerd op de ‘eleven-limit tonality diamond‘, een verzameling van toonhoogteverhoudingen met oneven factoren tot en met de hoogste priemfactor 11, die deze verhoudingen ordent in een matrix die zowel opwaartse als neerwaartse intervallen bevat. Deze tonale diamant is vergelijkbaar met de ‘seven-limiet diamant’ die eerder werd ontwikkeld door Max Friedrich Meyer (1873-1967) en is verfijnd door Partch. Dit principe resulteert in 29 basisverhoudingen binnen het octaaf, die vervolgens worden aangevuld met 14 extra verhoudingen om de schaal compleet te maken. Deze aanvullende intervallen vullen de hiaten op en zorgen voor een meer samenhangende en veelzijdige schaal. Partch koos de 11-limiet (dat wil zeggen, alle rationale getallen waarbij de oneven factoren van teller en noemer niet hoger zijn dan 11) als basis voor zijn muziek, omdat de 11e harmonische boventoon de eerste is die volledig vreemd is voor westerse oren, zo redeneerde hij.
Harry Partch was ontevreden met de beperkingen van het traditionele 12-toonssyteem en hij streefde naar een muziekstijl, die niet gevangen zat in traditionele concertzalen of academische kringen en los stond van de formele klassieke muziek. Partch wilde zijn muziek meer wortelen in de menselijke ervaring. In 1935 gaf hij daarom zijn academische en conventionele muziekleven op. Hij verbrandde al zijn eerdere composities, die geschreven waren in het traditionele 12-toons systeem, en begon aan zijn zoektocht naar een nieuwe muzikale taal. Hij reisde door de Verenigde Staten, vaak als ‘hobo’ (zwerver), en liftte op goederentreinen, zoals veel werklozen in die tijd van ‘The Great Depression’. Tijdens zijn reizen verzamelde Partch verhalen, ervaringen en teksten van andere zwervers en migrantenarbeiders. Hij zocht op deze wijze naar een directe, emotionele en culturele verbinding met de stemmen van de “vergeten mensen.” Zijn doel was om een artistieke uitdrukking te creëren die dieper en oprechter was dan wat hij in de traditionele muziekwetenschap vond.  Deze invloed is duidelijk te zien in zijn latere werk, zoals de compositiecyclus The Wayward, die is gebaseerd op de ervaringen van zwervers. Rond 1943 vestigde Partch zich opnieuw en begon hij intensiever te werken aan zijn instrumenten en composities. Zijn nomadische jaren hadden zijn artistieke visie duidelijk gevormd, en hij gebruikte de opgedane ervaringen als inspiratie voor zijn eigenzinnige muzikale werken, die vaak een theaterachtige benadering hadden waarin visuele en fysieke elementen een grote rol speelden.
Zijn ervaringen als buitenstaander versterkten zijn verlangen om nieuwe instrumenten te ontwerpen die konden ontsnappen aan de beperkingen van traditionele Westerse muziekinstrumenten. Om zijn muzikale visie te realiseren, bouwde Partch vanaf 1945 een reeks unieke instrumenten, zoals de Chromelodeon (aangepast 43-toons harmonium uit ca. 1945), de Harmonic Canon (langwerpig snaarinstrument ontwikkeld vanaf 1945), de Diamond Marimba (marimba met diamantvormig toetsenpatroon uit 1946), de Cloud Chamber Bowls (afgesneden Pyrex-kristallen klokken uit 1948), de Kithara (groot snaarinstrument met meerdere sets snaren ontwikkeld vanaf 1950) en de Spoils of War (percussie en snaarinstrumenten voor onconventionele geluiden, 1950), die speciaal waren ontworpen om de precieze toonhoogtes van zijn toonschaal en de subtiliteiten van menselijke stemintonatie tot klinken te brengen. Eerder in 1930 had hij overigens al zijn Adapted Viola laten bouwen. Bijna alle muziek van Partch is geschreven in de 43-toonsschaal, en hoewel de meeste van zijn instrumenten slechts subsets van de volledige schaal kunnen spelen, gebruikte hij deze als een element binnen zijn allesomvattende muzikale kader. (Meer specificaties op wiki/xen.wiki)

• Niet-westerse toonsystemen
Er zijn verschillende niet-westerse toonsystemen die in diverse muzikale tradities over de hele wereld worden gebruikt. Eén van de bekendste is het Indiase muzieksysteem (Śruti-systeem), dat is gebaseerd op śruti’s, de kleinste intervallen van het systeem. Er zijn traditioneel 22 śruti’s binnen een octaaf, maar in de praktijk wordt muziek doorgaans uitgevoerd binnen raga’s, die gebaseerd zijn op specifieke toonladders van zeven basis-svaras (tonen). Het śruti-systeem bestaat uit zeven basistonen in het octaaf (Sa, Ri, Ga, Ma, Pa, Da, Ni), zoals de westerse diatonische tonen, met vijf tussentonen, vergelijkbaar met de zwarte toetsen op de piano, waardoor 12 tonen ontstaan. Behalve de grondtoon en reine kwint hebben de overige tien tonen twee varianten, waardoor 22 tonen (śruti’s) ontstaan. De tonen zijn zuiver gestemd, vergelijkbaar met ‘Just Intonation’. Het is daardoor in feite een ongelijkzwevende 22-toonsstemming. De Hindoestaanse muziek uit Noord-India gebruikt het That-systeem, bestaande uit tien toonladders die als basis dienen voor raga’s. De Karnatische muziek uit Zuid-India hanteert het Melakarta-systeem, dat 72 verschillende soorten heptatonische toonladders omvat. (specs: wiki)
In de Arabische, Turkse en Perzische muziek wordt het maqam-systeem gebruikt, een modaal muzieksysteem dat complex en expressief is. Een maqam is dus meer dan alleen een toonladder. Maqams zijn gebaseerd op intervallen die kleiner kunnen zijn dan de halve tonen in het gangbare westerse systeem, zoals kwarttonen, waardoor er meer dan de gebruikelijke twaalf tonen per octaaf bestaan. Hierdoor kunnen musici subtiele nuances en microtonale variaties spelen, wat essentieel is voor de expressieve aard van deze muziek. Elke maqam heeft vaste regels voor stijging en daling en kan worden gecombineerd met andere maqams door middel van modulatie. Omdat het specifieke melodische bewegingen, toonhoogtebuigingen en karakteristieke frasen omvat, heeft elke maqam een unieke sfeer en wordt deze gebruikt om specifieke emoties of gemoedstoestanden over te brengen. Zo wordt Maqam Bayati vaak als melancholisch en intiem beschouwd, terwijl in Maqam Rast juist kracht en stabiliteit weerklinkt. Ondanks dat er regelmatig gebruik wordt gemaakt van tonen uit de 24-toonsstemming (kwarttonen), kan de exacte stemming van de tonen in een maqam ook variëren en is deze niet altijd gestandaardiseerd, wat bijdraagt aan de rijke expressiviteit van de muziek. Traditioneel worden deze toonladders en hun nuances mondeling overgeleverd en door middel van intensief luisteren geleerd. (specs: wiki)
De Javaans-Balinese gamelanmuziek uit Indonesië maakt gebruik van twee unieke stemmingen: ‘Slendro’, een vijftonig systeem (zie 5-toonsstemming) met ongeveer gelijke toonafstanden. En ‘Pelog’, een zeventonig systeem, waaruit in de praktijk altijd een subset van vijf (of soms zes) tonen wordt gebruikt. Het pentatonische Slendro kent de nootnamen S (Singgul), G (Galimer), P (Panelu), L (Loloran) en B (Barang/Tugu), terwijl het heptatonische Pelog voornamelijk de nootnamen S (Singgul), G (Galimer), P (Panelu), U (Bungur), L (Loloran), B (Barang) en O (Sorog) gebruikt. Hoewel een gamelanensemble instrumenten bevat die gestemd zijn in zowel Pelog als Slendro, worden de twee stemmingen in het traditionele muziekrepetoire nooit tegelijkertijd gebruikt, behalve wanneer ze in gevallen van modulatie afwisselend worden toegepast. In tegenstelling tot het westerse toonsysteem zijn de intervallen niet gestandaardiseerd, waardoor gamelan ensembles unieke stemmingen kunnen hebben. De ‘Gong Ageng’ is de grootste gong in het gamelanensemble en fungeert als de belangrijkste toon waarop de muziek rust. In de stemmingen Pelog en Slendro wordt de hele gamelan afgestemd op deze gong. (specs: wiki)
Traditionele Chinese muziek is grotendeels gebaseerd op pentatonische toonladders, bestaande uit vijf tonen per octaaf. Deze toonladders zijn verwant aan de zwarte toetsen op de piano en worden geassocieerd met harmonie en evenwicht. In sommige stijlen wordt een heptatonisch systeem gebruikt, dat overeenkomt met westerse majeur- en mineurtoonladders, maar met unieke intonatie en versieringen. Ook veel Afrikaanse muziekstijlen zijn pentatonisch, zoals de muziek van de Mande-cultuur in West-Afrika. Maar de rijke Afrikaanse muziektradities zijn divers en maken gebruik van verschillende toonsystemen, vaak in combinatie met percussieve ritmes. Sommige toonsystemen gebruiken microtonen, met tonen die tussen de westerse halve tonen in liggen, vooral bij gezongen melodieën en bij het gebruik van snaarinstrumenten. (Meer specificaties op wiki/wiki)

• Just Intonation
Just Intonation (‘Juiste Intonatie’), zuivere intonatie of reine stemming, is een stemmingssysteem waarbij de frequenties van tonen zich tot elkaar verhouden als eenvoudige hele getallen. Dit leidt tot intervallen die overeenkomen met de natuurlijke boventonen van een grondtoon. Bijvoorbeeld, een reine kwint heeft een frequentieverhouding van 3:2, wat betekent dat de ene toon precies 1,5 keer de frequentie heeft van de andere. Hierdoor kunnen zeer consonante en harmonieuze klanken ontstaan. Intervallen als de kwint, de terts en de harmonisch septiem zijn daarom helemaal zuiver in dit systeem. Bij ‘just intonation’ wordt de juiste grootte van alle intervallen in de toonladder namelijk berekend door middel van verschillende optellingen en aftrekkingen van zuivere tertsen en kwinten uit de natuurlijke harmonische reeks (boventoonreeks, zie onderaan). Deze reine stemming werd gebruikt tot in de middeleeuwen en vroege renaissance. Het systeem bleek echter onpraktisch voor meerstemmige muziek (polyfonie) en werd tegen het jaar 1500 geleidelijk vervangen door middentoonstemming.
De oorsprong van de reine stemming gaat terug tot de oude Grieken, met name Pythagoras (ca. 570 v.Chr.– ca. 500 v.Chr.), die intervallen onderzocht op basis van eenvoudige verhoudingen zoals 2:1 (octaaf), 3:2 (kwint) en 4:3 (kwart). Dit systeem, bekend als de Pythagorese stemming, legde de basis voor latere ontwikkelingen op het gebied van stemmingen. In de renaissance werd just intonation verder ontwikkeld en toegepast, waarbij theoretici zoals Gioseffo Zarlino (1517-1590) pleitten voor het gebruik van zuivere tertsen met een verhouding van 5:4. Dit leidde tot de zogenaamde 5-limiet reine stemming, waarbij intervallen werden opgebouwd uit de eerste vijf priemgetallen: 2, 3 en 5. Het toepassen van ‘just intonation’ in de praktijk brengt zowel mogelijkheden als uitdagingen met zich mee. Een van de voordelen is de volledige zuiverheid van de consonanten. Instrumenten zonder vaste toonhoogte, zoals strijkinstrumenten en zangstemmen, kunnen relatief eenvoudig aanpassen aan de reine stemming. Het grote nadeel van deze stemming is echter de beperkte flexibiliteit bij modulaties naar andere toonsoorten. Omdat de intervallen zijn gebaseerd op specifieke frequentieverhoudingen, leiden modulaties als snel tot tonen die buiten het oorspronkelijke systeem vallen, wat resulteert in dissonante intervallen of de noodzaak om nieuwe zuivere tonen toe te voegen. Dit probleem staat bekend als het ‘komma’-probleem, waarbij kleine stemmingsverschillen zich opstapelen en leiden tot ongewenste afwijkingen in toonhoogte. Om deze beperkingen te omzeilen, werden verschillende stemmingssystemen ontwikkeld, zoals de middentoonstemming en het 31-toonssysteem. Het meest bekende en meest gangbare stemmingssysteem is sinds enkele eeuwen de 12-toons gelijkzwevende stemming, waarbij het octaaf wordt verdeeld in twaalf gelijke halve tonen. Hoewel dit systeem het mogelijk maakt om vrijelijk te moduleren tussen toonsoorten, gaat het ten koste van de zuiverheid van veel intervallen, aangezien de meeste niet overeenkomen met de hele getalsverhoudingen. In de loop der tijd hebben componisten, muziektheoretici en wetenschappers gezocht naar manieren om de voordelen van ‘just intonation’ te combineren met de flexibiliteit van andere stemmingssystemen, wat heeft geleid tot het experimenten met microtonaliteit. (Meer specificaties op wiki/xen.wiki)