Het muzikale toonstelsel van Christiaan Huygens, de normale diŽzenstemming

Zelden geeft men zich rekenschap hoe aan zaken en praktijken, die ons doodgewoon lijken, een lange historie kan zijn voorafgegaan, en hoe wat ons vanzelfsprekend voorkomt, eens een vraagstuk is geweest. Dat is wat men cultuur kan noemen, de tot een tweede natuur geworden gewoonte die een oplossing geeft aan een geestelijk probleem. Tot zulke levende cultuurprodukten behoort ook het toonstelsel, waarin het muzikale leven zich beweegt en waarmede het zich uitdrukt. Hoe natuurlijk klinkt ons niet de toonladder do-re-mi-fa-sol-la-si-do in de oren! Het is alsof het niet anders zou kunnen, en toch schuilen ook daarachter vraagtekens. De genoemde toongamma typeert een bepaald toongeslacht. Er zijn ook andere toongeslachten in gebruik, voor muziek van anderen aard waarbij men andere tonen nodig heeft. In eenzelfde toongeslacht blijvend, wil men dezelfde wijs wel eens op hoger of lager toon zingen, zodat men van de genoemde ladder slechts enkele tonen kan gebruiken, (bij voorbeeld de mi, la en si), en in plaats van de overige nieuwe tonen moet stellen. Welk een eindeloze schat van tonen heeft men daarvoor niet nodig! De menselijke stem, al doorzingt zij maar een beperkt toongebied, biedt niettemin nog oneindig veel schakeringen van hoogte, maar een harp of een orgel hebben slechts een eindig aantal snaren of pijpen, in een fluit zijn maar een eindig aantal gaten gesneden, en men moet zich dus tot de keuze van een eindig toonstelsel bepalen om daarmee te musiceren. Dat is een muzikaal probleem van de eerste orde: hoe zal men zijn toonstelsel kiezen, opdat daarmede in de verschillende toongeslachten zal kunnen worden gemusiceerd? Behalve een muzikaal probleem is dat ook een probleem van bij uitstek natuurkundigen en wiskundigen aard. Tot de oplossing, die in de Europese muziek aanvaard werd, is men gekomen in de zeventiende eeuw, de eeuw van Christiaan Huygens. Onze orgels, onze vleugels en piano's, onze blaasinstrumenten zijn gestemd volgens de normale halftonen, dat wil zeggen dat het interval van een oktaaf door elf tonen verdeeld is in twaalf gelijke intervallen, die normale halftonen genoemd worden. Voor elk van die tonen is een vleugelsnaar, of een orgelpijp bestemd. Deze oplossing is niet die tot welke Christiaan Huygens gekomen is. De gedachte is uit de verre oudheid ontleend aan Aristoxenos en in het laatste kwart der zestiende eeuw door de Italianen Vincentio GalileÔ en Zarlino opnieuw opgevat, terwijl de exacte berekening van de oktaafverdeling in het eerste decennium der zeventiende eeuw aan Simon Stevin van Brugghe gelukt is. De praktische invoering moest nog driekwart eeuw wachten op den Duitsen orgelbouwer Andreas Werckmeister en den componist Joh. Seb. Bach. Tegenover de voordelen van deze normale halftoonstemming stonden en staan namelijk grote nadelen. Belangrijke harmonische intervallen worden daarin onzuiver weergegeven, tot aan de grens van het onverdragelijke. Daarom wilden de musici langen tijd van dit toonstelsel niet weten. Toch hebben de betrekkelijke eenvoud van het stelsel en de mogelijkheid die het bood, elke wijs en elk muziekstuk op twaalf verschillende toonshoogten onveranderd te herhalen, de weerstand overwonnen. Dezelfde voordelen biedt ook de oplossing van Huygens, en hij vermijdt de fouten die aan Stevins oplossing kleven. Om die te vermijden heeft hij echter een fijnere toonschakering nodig, hij verdeelt daartoe het oktaaf in een en dertig gelijke delen.
Christiaan Huygens' Nouveau cycle harmonique is in het vergeetboek geraakt, en als men erover schreef was het onjuist. Thans treft men in het twintigste deel van zijn verzamelde werken en nalatenschap, die door de Hollandse Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem worden uitgegeven, de stukken bijeengeschikt, waarin zijn vinding uitgewerkt staat. Zal de wereld, die er in Huygens' dagen, naar het schijnt, nog niet rijp voor was, nu van zijn oplossing gebruik maken? Wellicht ja, en dan zou zich herhalen, wat in de geschiedenis zo vaak gebeurd is. De gravitatiewet van Newton gaf een benadering van de werkelijkheid. Zij heerste onbeperkt, totdat enerzijds behoefte ontstond aan een scherper benadering, doordat de waarneming gegevens aan het licht bracht, die een uitzondering op de wet bleven vormen, en anderzijds het wiskundig hulpmiddel gereed gekomen was om daarmede de fijnere wet te hanteren, die Einstein in zijn algemene gravitatietheorie formuleerde. De halftoonstemming van Stevin heeft de ontwikkeling en bloei van de muzikale compositiekunst mogelijk gemaakt en gediend, gedurende de laatste eeuw heeft dit toonstelsel onbeperkt geheerst. In de moderne composities komen pogingen aan den dag, die door velen niet meer gewaardeerd kunnen worden. Men mag onderstellen dat dit pogingen zijn tot uiting van ware en echt doorleefde muziek, die een groter precisie van toonstelsel vereist tot een levensgetrouwe uitbeelding van het innerlijk gehoorde. Is die onderstelling waar, dan kan de vergeten cycle harmonique van den ouden Huygens, aan het licht gekomen, wederom een nouveau cycle blijken, die aan jonge geesten een nieuwe horizon opent voor de opstijging van hun nog ongehoorde dromen.

Teneinde den aard te schetsen van de vragen tegenover welke men komt te staan, is het nodig over bepaalde muzikale intervallen te spreken, over het oktaaf, over de kwint, over de grote terts, en later over nog andere. Het is gemakkelijker die intervallen te laten horen dan ze met de pen te beschrijven. Gelukkig kent iedereen het bekende refrein van: "Piet Hein, Piet Hein, Piet Hein zijn naam is klein, Zijn dade benne groot, zijn dade benne groot, enz". Dit refrein beweegt zich tussen een laagste en een hoogste toon. De hoogste wordt gehoord in het derde Hein en in het laatste groot. De laagste toon hoort men in is en da van het eerste dade. De afstand tussen deze twee tonen heet oktaaf. Ook het toongebied tussen de twee tonen wordt met hetzelfde woord aangeduid. Kwint is de naam voor de afstand tussen de toon van den aanhef van het refrein en de laagste van is, dezelfde als van is en klein, of van zijn en da-, waar dit voor het eerst komt, of van het tweede da- en het tweede groot. Een kwart hoort men, omhoog en omlaag, in Piet Hein zijn. Tertsen tenslotte hoort men in zijn naam is, tweeŽrlei: een kleine terts bij zijn naam, en een grote terts bij naam is. - In het vervolg wil ik met terts kortweg bedoelen de grote terts, tenzij ik uitdrukkelijk anders zeg. -
Van deze intervallen valt het oktaaf op als het eenvoudigste, meest elementaire, ja men kan haast zeggen: de twee tonen zijn eigenlijk dezelfde. Rekenkundig drukt men hun betrekking uit door het getal 2, beter door de breuken 2/1 of 1/2 al naar men de hoogste of de laagste toon laat voorklinken. Natuurkundig vindt men het getal terug bij de gespannen snaar, die niet alleen in zijn geheel, maar ook in twee gedeelten trillen kan, waarbij zijn midden stil blijft, ook al houdt men hem daar niet vast, en waarbij zijn toon de oktaaf is van de eerste toon.
Op het oktaaf volgt, in stoere primitieve schoonheid, de kwint. Bij deze behoort de breuk 3/2 of 2/3, al naar men de kwint neemt. Het getal 3 komt hier te pas, omdat de snaar ook in drieŽn trillen kan, in een, daarom derde harmonische genoemde, trilling, waarbij twee stilblijvende snaarpunten hem in drie gelijke stukken verdelen. De kwint is het interval tussen de tweede en de derde harmonische van een snaar.
Een snaar heeft ook een vierde harmonische, de oktaaf van de oktaaf. Het interval tussen de derde en vierde harmonische heet kwart. Daaraan moeten dus de getallen 3 en 4 verbonden zijn. Tenslotte de terts, het interval dat zo treffend mooi in tegenstelling tot de leegte van de kwint een volheid van klankbehagen stelt. De grote terts betekent rekenkundig de breuk 5/4 of 4/5. Het getal 5 duidt op de vijfde harmonische van de snaar, waarbij deze in vijf gedeelten trilt, die gescheiden worden door stilblijvende snaarpunten.
Het is wel een grillige speling van het lot, dat in de historie aan de vijfde harmonische de naam terts gekoppeld is, terwijl de naam kwint vast zit aan de derde harmonische!

Met de genoemde intervallen kunnen wij enkele toongeslachten beschrijven. Het meest primitieve is dat, hetwelk alleen de kwint, en deze slechts ťťn keer, kent. Het is de grote trom, met twee tonen aan weerskanten, die een kwint uit elkander liggen. Iets verder staat het toongeslacht, dat behalve de oktaaf twee kwinten kent. Men denke aan vier pauken, waarvan de uiterste een oktaaf zouden geven, en van de binnenste de ťne een kwint met de laagste vormt, en de andere een kwint met de hoogste. Deze vier tonen vindt men in het geciteerde refrein in de drie lettergrepen zijn, beide lettergrepen da- en beide lettergrepen groot tezamen. De tonen van zijn en het tweede dade vormen een interval dat men pythagoreÔsche sekunde noemt. Men krijgt het door twee keer een kwint omhoog, en ťen keer een oktaaf omlaag te gaan, zoals men, aan de vier pauken denkende, zich duidelijk kan maken. De breuk die erbij hoort, is daarom het produkt van drie: 3/2 × 3/2 × 1/2 = 9/8. De overlevering wil, dat de school van Pythagoras geen andere intervallen als consonanten erkende dan het oktaaf en de kwint, benevens de kwart en deze sekunde, die daaruit volgen. Eerst Ptolemaeus erkende de grote terts als consonant element om er een toongeslacht mede te bouwen.

De toongeslachten waarin de harmonische grote terts voorkomt, kunnen wij ons voorstellen door aan de vier snaren van een viool te denken. Tussen die vier snaren zijn er drie intervallen, en men stemt de snaren zodanig, dat elk interval een kwint wordt. Tussen de vier snaren denke men zich drie nieuwe gespannen, en deze zodanig gestemd dat zij met een naburige snaar een grote terts (5/4) vormen. Dan zullen zij vanzelf met de andere buur een kleine terts vormen (6/5). Hier openen zich acht mogelijkheden. Elk van de tussensnaren namelijk kan een grote terts maken Úf met zijn buur aan de lage kant, Úf met zijn buur aan de hoge kant. In het eerste geval geeft hij met zijn buren drie klanken als in het refrein de lettergrepen da-, ben- en groot uit een van de twee zinnetjes. In het andere geval ligt de drieklank als tussen het eerste ben-, het eerste groot, en het laatste -ne. Uit de combinatie van drie keer twee mogelijkheden voor de drie snaren ontstaan 2 × 2 × 2 is acht toongeslachten. Een "gewone" toonladder van het geslacht do-re-mi komt voor den dag indien men al de tussensnaren een interval van een grote terts tegen de lage buur geeft, en vervolgens de tonen van de meest linkse hoofdsnaar en van de linker tussensnaar een oktaaf omhoog brengt, daarentegen de toon van de meest rechtse hoofdsnaar een oktaaf omlaag.
Bij de altviool heeft men ook vier snaren. Het hoogste drietal wordt op dezelfde tonen gestemd als het laagste drietal van de viool, naar beneden breidt de vierde snaar van de alt de tonen met een kwint uit. Samen hebben de viool en de alt dus vijf hoofdtonen met vier kwintafstanden daartussen. Tussen de twee laagste van de alt kan men weer op twee manieren een tussentoon leggen. Nu spruit er een moeilijkheid voort uit de eigenaardigheid van de bij de intervallen betrokken getallen. Gaat men van de laagste altsnaar een grote terts omhoog, dan lijkt deze tussentoon, afgezien van de twee oktaven onderscheid, bedenkelijk veel op die van de hoogste vioolsnaar, maar hij is juist niet dezelfde. De getallen die erbij behoren zijn 80 en 4 × 81. Indien in plaats van 80 stond 81, hadden wij een schoon dubbel oktaaf. Zoals het nu is, is er een storende valsheid in de stemming, die men "komma" noemt. Gaat men wederkerig van de hoogste vioolsnaar een grote terts omlaag, dan komt men bij een tussentoon, die eveneens juist niet twee oktaven hoger ligt dan de laagste toon van de alt.
Dat is lelijk. Men kan de toestand beschrijven als een strijdigheid van vier opeengestapelde kwinten met een stapel van twee oktaven en een grote terts. De kwinten zijn samen een komma groter. Wat moet men nu doen, indien men wil gaan musiceren? Men zal een compromis moeten vinden. Men zal iets moeten prijsgeven van de zuiverheid van stemming, tenzij men wil opgeven de mogelijkheid van samenspel op de lage snaar van de alt en op de hoge snaar van de viool. Het is duidelijk dat men gemis van zuiverheid in de oktaven het allerminst verdragen kan, zodat het dilemma wordt: zal men de kwinten verkleinen, elk een kwart komma, en de zuiverheid van de terts behouden, of zal men de terts een komma groter nemen? Huygens, in overeenstemming met de muzikale smaak van zijn tijd, verkoos aanvankelijk een kwart komma valsheid in de kwint boven een hele komma valsheid in de terts. Dat leidt tot de zg. middentoonstemming.
Deze overwegingen aangaande de stemming worden doorkruist door een andere. Men kan namelijk, van een bepaalde toon te beginnen, telkens een kwint omhoog gaan, na elke twee kwinten weer een oktaaf terugspringende. Men zal dan merken dat men, na twaalf kwinten omhoog en zes oktaven omlaag gesprongen te zijn; opnieuw een oktaaf kan dalen, om daarna nog een kleinigheid hoger te blijven staan dan toen men begon. Twaalf kwinten zijn iets meer dan zeven oktaven. De cyclus, de kwintencirkel van twaalf tonen, is dus niet gesloten. Een gesloten kring kan ook niet bestaan, al probeert men het met een cyclus van ook nog zoveel kwinten. In de wiskunde wordt namelijk bewezen dat een kwint en een oktaaf, als toonafstanden beschouwd, onderling onmeetbaar zijn, en waar geen gemene maat is, is ook geen gemeen veelvoud. Toch zou het ten deze een opoffering waard zijn indien de cyclus wel gesloten was. In een muziekstuk gaat men telkens bepaalde intervallen omhoog en weer andere omlaag. Het is niet fraai wanneer men daarbij toonhoogte verliest, of te hoog komt. Om den kwintencirkel gesloten te doen zijn, zou men de kwinten iets kleiner moeten nemen, en wel een twaalfde komma kleiner.
Zie, dat komt ook tegemoet aan de eis van de terts. Indien vier kwinten met elkaar een derde gedeelte van een komma te klein gestemd worden, behoeft men de terts niet meer een volle komma te groot te nemen, twee-derde komma is al genoeg, en dat verdraagt een enigszins gehard oor nog wel. Dit is de oplossing van de halftoonstemming: laat een rij van twaalf even grote intervallen een geheel aantal oktaven zijn. Is dat ťťn oktaaf, dan hebben wij twaalf even grote halftonen. Zijn dat zeven oktaven, dan zijn het twaalf even grote kwinten, elk 1/12 komma te klein; zijn dat vier oktaven, dan zijn de tonen twaalf even grote tertsen, elk 2/3 komma groter dan de zuivere maat. Twaalf gelijke intervallen die met elkander ťťn oktaaf maken, dat betekent rekenkundig een gedurig produkt van twaalf evengrote faktoren met 2 als uitkomst. Zulk een faktor, de twaalfde wortel uit 2, heeft Simon Stevin kunnen uitrekenen.

De ontdekking van Christiaan Huygens was deze, dat men evengoed met de grote tertsen een cyclus kan maken als met de kwinten. Eenendertig grote tertsen zijn bijna gelijk aan tien oktaven, nauwkeuriger 9,98 oktaven. De sluitfout is minder dan 7/6 komma. Verdelen wij deze fout over de eenendertig tertsen, dan nemen wij de terts een kleinigheid, 1/27 komma te groot. Dit komt ten goede aan de vier kwinten die samen met eenzelfde bedrag minder behoeven te worden beknot. In plaats van 1/4 komma worden nu de aangepaste kwinten, waarvan er 31 samen 18 oktaven vormen, elk 0,24 komma te klein. In het toonstelsel komen er eenendertig verschillende tonen, op gelijken afstand. Vullen de eenendertig gelijke intervallen samen ťťn oktaaf, dan heten die kleine intervallen normale diŽzen, en Huygens' nouveau cycle harmonique kunnen wij de normale diŽzenstemming noemen. De natuurlijke of enharmonische diŽze, het interval, waarmede een oktaaf drie grote tertsen overschrijdt, is als breuk geschreven 128/125. Deze natuurlijke diŽze is iets groter dan de normale diŽze in Huygens' cyclus, er gaan slechts 29 natuurlijke diŽzen in een oktaaf.
Het hierboven geschetste conflict tussen kwint en terts is, zien wij, met het oog op de cyclische geslotenheid van het toonstelsel op twee manieren op te lossen. Bij Simon Stevin blijven de kwinten zoveel mogelijk ongerept, maar hij forceert de zuivere tertsen met 2/3 komma, daardoor heeft hij aan twaalf tonen binnen een oktaaf genoeg. Christiaan Huygens raakt zo min mogelijk aan de tertsen, hij besnoeit de kwinten met nauwelijks 1/4 komma, daartoe heeft hij eenendertig tonen in het oktaaf nodig.
Welk interval is muzikaal belangrijker? Moeilijke vraag! De kwint heeft de oudste rechten, dat is waar. Voor het geraamte van de muzikale compositie is misschien de kwint belangrijker, maar voor het vlees en bloed van de welluidendheid, van de harmonie, betekent de terts veel meer. Wat heeft men aan een fraaie beker als de drank wrang is? Eindeloos zou men kunnen blijven twisten, welke vůůr dient te gaan, de kwint of de terts. Indien men de terts kiest, is de grotere complicatie van de eenendertig diŽzen tegenover de twaalf halftonen dan niet een tť hoge prijs, waarmede men zijn voorkeur bekopen moet?

Behalve de derde en de vijfde harmonische, zijn er bij de grondtoon ener snaar nog meer harmonische tonen. Daar is bijvoorbeeld de zevende, en voorts de elfde, en vele meer. Verdienen deze geen aandacht bij de keuze van het toonstelsel? Zijn zij verworpen of verwerpelijk, en indien ja, waarom? Dit punt roert Huygens aan in de vorm van de vraag, of de verhouding zeven tot vijf (gezwegen van vier, of zes) een consonant interval betekent of een dissonant. Huygens acht het consonant, al heeft het een afwijkend karakter van de in zijn tijd gebruikelijke intervallen. Het is iets kleiner dan het interval fa-si in het do-re-mi geslacht, dat drie tonen bevat en als diatonische tritonus (45/32) onderscheiden kan worden van de harmonische tritonus (7/5). Huygens vindt in de harmonische tritonus een eigen schoonheid. Hij herinnert aan de vergissing der antieken, die de terts als dissonant verwierpen, terwijl deze later zo vanzelfsprekend genoten werd. Hij waarschuwt dat men ten aanzien van de zevende harmonische niet in dezelfde fout moet vervallen. Geen wonder dat hij het een voordeel acht van zijn diŽzenstemming, als deze blijkt ook de intervallen met het getal zeven tot hun recht te doen komen. Dat dit zo is rekent men als volgt vlug na. De harmonische tritonus 7/5 is bijna de helft van een oktaaf. Zijn supplement is 10/7. Het verschil tussen de harmonische tritonus en zijn supplement is 50/49, iets kleiner dan de enharmonische diŽze 128/125 - goed beschouwd 0,9 normale diŽze. Daar het oktaaf 31 diŽzen heeft, volgt hieruit dat de tritonus zeer nabij 15 diŽzen meet (nml. 15,05). Dat wil zeggen dat de zevende harmonische voortreffelijk past in Huygens' toonstelsel, en dat men daarin de zevende harmonische niet behoeft te schuwen. In het halftoonstelsel is deze een wanklank, en menig kwaad gerucht is daarover verbreid. De blaam moet echter op het stelsel vallen, niet op de harmonische die tussen hare zusters recht heeft op de eigen eervolle plaats, die zij in de diŽzenstemming vanzelf krijgt. Terecht voert Huygens dit aan als een groot voordeel, aan zijn cyclus verbonden, een geluk, dat de getallen ons vanzelf in de schoot werpen.
Ik wil hieraan nog toevoegen, dat ook de intervallen met de elfde harmonische, ja zelfs een deel van die met de dertiende harmonische, in de normale diŽzenstemming met groter zuiverheid ten gehore gebracht kunnen worden dan de tertsen in de normale halftoonstemming. Componisten behoeven zich dus niet te weerhouden te componeren in nieuwe toongeslachten waarin de zevende en de elfde harmonischen voorkomen. Gespeeld in de gangbare halftoonstemming zouden zulke composities kakofonieŽn worden. In Huygens' diŽzenstemming echter kan hun pracht ontvlammen.

Wie zal zeggen tot welke muzikale opbloei de herontdekking van Christiaan Huygens' nouveau cycle harmonique leiden zal gloednieuw voor nieuwe schoonheid? Veel zal er van afhangen of hij een twintigste-eeuwsen Andreas Werckmeister vindt, die orgels volgens de diŽzenstemming bouwt en stemt, en of er een twintigste-eeuwse Johann Sebastian Bach ontwaakt, die de daarin schuilende stemmen weet op te roepen en te wekken tot een de eeuwen doorklinkend getuigenis van schoonheid en geestelijke grootheid.

A. D. Fokker, 1942