Leonhard Euler (1707-1783)
De Zwitser Leonhard Euler was een wiskundige
van de eerste grootte. Overal treft men zijn vondsten
aan, in alle gebieden van de meetkunde, de algebra, de mechanica,
de natuurkunde. Nog is, twee eeuwen na zijn leven en
werken in Petersburg, zijn oeuvre niet geheel uitgegeven,
waarmede de Russische Academie van Wetenschappen reeds
vroeg een begin gemaakt heeft. Door keizerin Catharina I
uit Basel naar de Russische hoofdstad geroepen en spoedig
aan het hoofd gesteld van een laboratorium als professor
in de theoretische en experimentele natuurkunde, heeft hij
zich bezig gehouden met de studie van het geluid en daaraan
een muzikale theorie vastgeknoopt, die in 1739 verscheen
onder de titel Tentamen novae theoriae musicae. Dat is: Proeve
ener nieuwe muziektheorie.
Als een rechtgeaard voorlichter in de achttiende eeuw
kan hij niet anders dan verzekerd zijn, dat er voor alles wat
er geschiedt een reden moet kunnen worden gevonden, ook
voor het feit, dat men deze muziek mooi vindt en die lelijk.
Er moet een antwoord zijn op de vraag, waarom het ene
volk van een bepaalde muziek geniet, terwijl een ander volk
daarvan afkerig is. Hij schrijft dit toe aan een zekere orde
die het oor in de klanken ontdekken kan. De mate waarin
en het gemak waarmede wij die orde herkennen bepaalt het
welbehagen, dat wij in de samenklank en de opeenvolging van klanken scheppen.
Als voorbeeld tekent hij een rij punten op een lijn, even
ver van elkaar, twee per centimeter. Laat ons denken aan
een rij van blauwe punten. Op dezelfde lijn tekent hij een
tweede rij van punten, - laat ons denken aan rode punten
- waarvan er drie op een centimeter komen. Met een oogopslag
herkennen wij op de lijn een zekere orde in die punten.
Er tekent zich een patroon af dat zich steevast herhaalt.
Een analoog patroon, in de tijd, heeft men bij een in zessen
geslagen maat, waarin de pauken op 1 en 4 komen en de
triangel op 1, 3 en 5, de ene twee tegen de andere drie. Indien
dit zeer snel gebeurt en inplaats van de slagen op pauk en
triangel de trillingen komen van een C-snaar en een G-snaar,
dan horen wij met ons oor de orde van die twee tegen drie
als een kwint. Veel scherper herkent het oor die verhouding
van twee tegen drie, zegt Euler, dan wij op het oog beoordelen
kunnen of een lijnstuk precies anderhalf maal een ander lijnstuk is.
Hoe zou Euler genoten hebben van de figuren, die
Lissajous verkreeg! Deze liet een lijn trekken door een
stift, die in de ene richting tweemaal per seconde heen en
weer ging en in een andere richting loodrecht op de vorige
driemaal per seconde. Indien de trillingsverhouding zuiver
gestemd is, blijft de figuur onveranderlijk een en dezelfde,
die zich steeds herhaalt. Mankeert er iets aan de zuiverheid
der stemming, dan wordt het een warwinkel van onregelmatige lussen.
Euler wenst een rekenkundige maat voor de herkenbaarheid
van de orde in een interval. Aan het hierboven
geschetste voorbeeld van pauken met triangel kunnen wij
toelichten waarin het merk, het herkenningsmerk voor de
orde gelegen is. Het is de ingewikkeldheid van de maat,
waarin de slagen als één groep gehoord worden. Nemen wij
als ander geval dat de pauken -of een metronoom- zestig
maal per minuut worden geslagen, en de triangel -of een
tweede metronoom- honderd maal per minuut. De verhouding
is dan drie tegen vijf. De minuut zal nu in twintig maten
verdeeld worden, elke maat met drie pauken- en vijf triangelslagen,
en de maten zullen in vijftien tikjes geteld moeten
worden. Dat de zich herhalende groep van slagen nu plaats
vindt in een maat van vijftien snelle tellen, terwijl in het vorige
geval een maat van zes tellen reeds gelegenheid bood tot
onderbrenging van de groep, daarin manifesteert zich de geringere
herkenbaarheid van de orde.
Nog een nieuw voorbeeld: horen wij tegelijk een toon van
driehonderd trillingen per seconde (zestig maal vijf), en een
andere van vierhonderdtwintig trillingen per seconde (zestig
maal zeven) dan spelen zich per seconde, figuurlijk gesproken,
zestig "maten" af, zestig bewegingsfiguren, die zich herhalen,
en elke "maat" moet daarbij in vijfendertig (5 × 7) "tellen",
elk van 1/2100 seconde "geslagen" worden.
Men begrijpt, dat Euler het op andere manier zegt. Hij
zegt, dat wij de frequentie der trillingen (hier 300 en 420)
eerst moeten delen door hun grootste gemene deler (hier 60,
wij krijgen dan 5 en 7) en dat men daarna hun kleinst gemene
veelvoud moet nemen, dat is hier 35. Dit getal levert hem het
uitgangspunt om volgens een bepaalde regel de "gradus
suavitatis", de graad van zoetheid, te berekenen. Hoe kleiner
graad, des te groter zoetheid, wij zouden zeggen: des te geringer
spanning.
Dat uitgangsgetal voor de berekening van de gradus heet
bij Euler de expónens. Voor de verhouding van de kwint
(2:3) is de expónens 6, voor het interval van de grote sext
(3:5) is de expónens 15, voor het interval van de harmonische
tritonus (5:7) is de expónens 35.
Het spreekt vanzelf, dat wij de volgorde van de rekenkundige
bewerkingen ook kunnen omkeren. Indien gegeven
zijn de frequenties 300 en 420, kunnen wij eerst de grootst
gemene deler bepalen, 60, en daarna het kleinst gemene veelvoud,
dat is 2100 (want 7 × 300 = 5 × 420 = 2100), en
vervolgens het KGV delen door de GGD 60. Het quotiënt
is Eulers expónens 35 voor het interval van die twee
frequenties.
Wat hier voor een interval gezegd is, laat zich
aanstonds toepassen op een akkoord. Stel eens dat van drie
tonen de frequenties zijn 300, 400 en 500 per seconde. De
grootst gemene deler is 100 per seconde, het kleinst gemene
veelvoud is 6000 per seconde. De expónens, het ordemerk,
het spanningsgetal, is 6000/100 = 60. Hier doet zich het geval
voor, dat. er nog meer tonen te bedenken zijn, welke dezelfde
deler 100 per seconde hebben, en begrepen zijn in hetzelfde
veelvoud 6000 per seconde. Bijvoorbeeld de toon met frequentie
100 per seconde, en die met 6000 per seconde. In
het geheel zijn er twaalf, nl. 100, 200, 300, 400, 500, 600,
1000, 1200, 1500, 2000, 3000, 6000. Die tonen met elkander
vormen wat Euler noemt een volledig akkoord. Er kan aan
het akkoord geen toon toegevoegd worden zonder dat het
kleinst gemene veelvoud groter wordt (bijv. als men 900 zou
toevoegen) of zonder dat de grootst gemene deler kleiner
wordt (bijv. als men 750 zou toevoegen), waardoor de expónens zou toenemen.
In tonen vertaald hebben we het bovengenoemde voorbeeld
(getransponeerd) in het volledig akkoord:
F' : F : c : f : a' : c' : a' : c'' : e'' : a'' : e''' : e''''
Wat de frequenties betreft is hier het KGV 2640 per seconde,
de GGD 44 per seconde. Zou men hieraan een g' toevoegen,
dan zou het KGV 7920 worden; zou men er een e'
aan toevoegen, dan zou de GGD 22 worden. In het ene geval
wordt de expónens 180, in het laatste geval 120.
Onvermijdelijk liggen de tonen aan het benedeneind en
aan het boveneind van het volledige akkoord ver van elkaar.
Naar het midden toe zijn de intervallen kleiner. Het buitenste
interval is nooit kleiner dan een oktaaf.
In het volgende voorbeeld zijn de buitenste intervallen
een duodeciem:
F'' | C | A | g | e' | d'' | b'' | fis'''' | (I)
| 1 | 3 | 5 | 32 | 3·5 | 33 |
32·5 | 33·5 |
Er zijn acht tonen in dit volledige akkoord. De bijgeschreven
producten betekenen de verhouding der frequenties tot
de GGD. De expónens is 33·5 = 135. Omdat er in de expónens
geen factor 2 zit, komt er in het akkoord geen oktaaf voor,
en alle tonen hebben een verschillende letternaam.
Hier is nog een ander voorbeeld, met negen tonen:
F'' | C | A | g | e' | cis'' | b'' | gis''' | dis'''''
| (II)
| 1 | 3 | 5 | 32 | 3·5 | 52 |
32·5 | 3·52 |
32·52 |
In dit voorbeeld is de expónens 32·52 = 225.
Niemand musiceert met zulke ijle akkoorden. Voor
de melodie moeten de tonen dichter bij elkaar liggen. Dat
zal niet mogelijk zijn zonder de expónens van het akkoord
te verhogen. Men zal het gehele akkoord, over een oktaaf
verplaatst, moeten voegen bij wat men al heeft. Dat betekent
voor de expónens de vergroting met een factor 2, onverschillig
of de oktaafverplaatsing omhoog of omlaag geschiedt.
Neem voorbeeld I. Om dit akkoord van een e'' in het
tweegestreepte oktaaf met een verhoudingsgetal 2·3·5 te
voorzien, moet er één factor 2 bij. Om het te voorzien van
een g'' met verhoudingsgetal 22·32 moet er nog een factor
2 in de expónens bijkomen. De toon a'' vereist 23·5, de toon
c'' betekent 24·3 en de toon f'' vereist 25.
Dat alles met elkander brengt mede een volledig akkoord met expónens
25·33·5, dat men nauwelijks meer akkoord
mag noemen, eerder een voorraad van tonen. Aan de lage kant vinden wij
daarin de tonen:
F'' | F' | C | F | A | c | f | g | a | c' | e' | f' |
g' | a' | c'' | d'' | e'' | f'' | g'' | a'' | b'' | c''' |
d''' | e''' | g''' | a''' | b''' | c'''' | d'''' | e'''' | (III)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 |
18 | 20 | 24 | 27 | 30 | 32 | 36 | 40 | 45 | 48 |
54 | 60 | 72 | 80 | 90 | 96 | 108 | 120 |
In het tweegestreepte oktaaf staan nu alle tonen, die wij in onze toonladder
van c grote terts gebruiken. In het enkelgestreepte oktaaf ontbreken daarvan de
d' en de b', in het klein oktaaf ontbreekt ook de e, in het groot oktaaf zelfs
de G. In het driegestreepte oktaaf ontbreekt de f.
Wil men in alle hoorbare oktaven alle tonen van het volledige
akkoord I aantreffen, dan moet blijkbaar de expónens
met een onbepaald gelaten aantal factoren 2, met 2m, worden
uitgebreid tot [2m·33·5]. De
toonverzameling, of juister gezegd de verdeling van het oktaaf die men dan
krijgt, noemt Euler een genus musicum, een
geslacht. Het geslacht, dat op die wijze uit de in (I) genoemde tonen
bestaat, is een genus diatonicum. Het diatonische geslacht kan
natuurlijk van F naar elke andere uitgangstoon getransponeerd worden. Dit
speciale, uit de tonen van I volgende geslacht, betitelt Euler met de naam C
durus.
Hierin wijkt Euler af van zijn tijdgenoten, dat hij C durus niet afleidt uit de
bas F' : C : G met daarop staande grote terts-drieklanken. C durus bevat voor
hem vanzelfsprekend ook fis. Wil men het genus diatonicum opvatten als
samenstelling van drie akkoorden, dan zouden dat kunnen zijn de drie
grote-tertsdrieklanken op de bas, die bestaat uit Rameau's "Son principal",
"Dominante" en "Sous-dominante", mits die drieklanken elk voorzien worden van
hun "note sensible", als grote-septiemakkoorden.
In Eulers begrippensfeer behoren de vier tonen van een
grote-septiemakkoord bij elkander als delen van één akkoord
met expónens [2m·3·5]. Deze akkoorden bevatten zowel
een grote drieklank, trias dura (4:5:6) als een kleine drieklank
trias mollis (10:12:15). Van deze akkoordsoorten
[2m·3·5] zegt Euler: de musici plegen slechts de
"harde" en de "zachte" drieklanken te gebruiken, en de overige daarin mogelijke
akkoorden als bijkomstig te beschouwen en met de naam dissonant te bestempelen,
ofschoon deze al te vaak evenveel of zelfs meer zoetheid hebben dan de gewone
drieklanken.
Brengt men alle in akkoord II voorkomende noten binnen één oktaaf, dan krijgt
men een toongeslacht [2m·32·52]
dat Euler in het algemeen noemt een genus chromaticum. Het speciale
chromatische geslacht met de noten van II betitelt Euler met de naam van A
mollis. Uit deze naamgeving blijkt wederom hoe volkomen los Euler staat van
iemand als Rameau. Onder de tonen van A mollis zoekt
men tevergeefs de voor Rameau zo noodzakelijke subdominant, D. Men vindt er de
grote- en de kleine-tertsdrieklanken van A en van E, de grote-tertsdrieklank
van F, de kleine-terts drieklank van Gis. Men kan erin onderscheiden een bas F
: C : g, met vergrote drieklanken erop: f : a : cis' en g : b : dis' en c : e :
gis. Inderdaad, laat men c : e : gis weg, dan houdt men de tonen over die
Claude Debussy in zijn hele-toonreeks gebruikt:
f : g : a : b : cis' : dis'
Laat men twee andere tonen weg, nl. cis en g, dan houdt
men in
A : B : c : dis : e : f : gis : a
over de kleine-tertstoonladder die Tartini gebruikte
in zijn bijzonder dissonant harmonisch systeem, en die nu bekend
is onder de naam van zigeuner-toonladder.
Bij een genus wordt de macht van de factor 2 in
de expónens, bijv. [2m·33·5], onbepaald
gelaten. Neemt men de tonen die volgen uit een bepaalde keuze van die macht m,
dan vormt de greep uit de tonen van het geslacht die men
daarmede doet een speciës, dat is een soort. Stel dat men
door zijn instrument beperkt is tot tonen tussen C' en c'''',
met een omvang van zes oktaven. De tonen van één speciës
die daarbinnen vallen, vormen wat Euler noemt een
systema. Bij één soort zijn op die manier nog verschillende
systemata mogelijk. Uit III kunnen wij, uit de soort
[25·33·5],
overnemen dit systema:
F' | C | F | A | c | f | g | a | c' | e' | f' | g' |
a' | c'' | d'' | e'' | f'' | g'' | a''
| 2 | 3 | 4 | 5 | 2·3 | 23
| 32 | 2·5 |
22·3 | 3·5 | 24
| 2·32 |
22·5 | 23·3 | 33 |
2·3·5 | 25 | 22·32 |
23·5 |
b'' | c''' | d''' | e'''
| g''' | a''' | b''' | c'''' | (IV)
| 32·5 | 24·3 |
2.33 | 22·3·5 |
23·32 | 24·5 |
2·32·5 | 25·3 |
Maar uit dezelfde soort [25·33·5] kunnen
wij ook andere systemata in het beschikbare toongebied leggen.
Een daarvan is:
C' | D' | E' | F' | G' | A' | B' | C | D | E | G | A | B
| c | d
| 23·3 | 33 | 2·3·5
| 25 |
22·32 | 23·5 |
32·5 | 24·3 | 2·33 |
22·3·5 | 23·32 |
24·5 | 2.32·5 | 25·3 |
22·33 |
e | fis | g | a | b | d' | e' | fis' |
g' | b' | d'' | e'' | fis'' | b'' | d''' | fis''' | b'''
| (V)
| 23·3·5 |
33·5 | 2432 | 25·5 |
22·32·5 |
23·33 | 24·3·5 |
2·33·5 | 25·32 |
23·32·5 |
24·33 | 25·3·5 |
22·33·5 |
24·32·5 |
25·33 | 23.33·5 |
25·32·5 |
Nog een derde systema, uit dezelfde speciës, is het volgende:
C' | F' | G' | A' | C | E | F | G | A | c |
d | e | f | g | a | b | c' | d'
| 2·3 | 23 | 32 | 2·5 | 22·3
| 3·5 | 24 | 2·32 | 22·5
| 23·3 | 33 | 2·3·5 |
25 | 22·32 | 23·5 |
32·5 | 24·3 | 2·33
|
e' | g' | a' | b' | c'' | d'' | e'' | fis'' | g'' |
a'' | b'' | d''' | e''' | fis''' | g''' | b''' | (VI)
| 22·3·5 | 23·32 |
24·5 | 2·32·5 |
25·3 | 22·33 |
23·3·5 | 33·5 |
24·32 | 25·5 |
22·32·5 |
23·33 | 24·3·5 |
2·33·5 | 25·32 |
23·32·5 |
Aan de beschouwing van deze systemata knoopt Euler twee conclusies.
De eerste is deze, dat indien men componeert in de gekozen
speciës [25·33·5], en de bewegelijkste en toonrijkste
melodie aan een bovenstem wil geven, terwijl de figuren in
de bas niet altijd met diatonische passen behoeven te lopen,
het nuttig is om het systema IV te gebruiken. Daar heeft
de bovenstem gelegenheid om van c'' tot c''' alle diatonische
trappen van wat wij zouden noemen de toonsoort C-groot te
doorlopen.
Wil men, in dezelfde speciës, de melodie en de bewegelijkheid
aan de bas geven, bij wijze van passacaglia, dan ligt het
voor de hand om het systema V te gebruiken. Dan hebben
de bassen van G tot b een ononderbroken diatonische reeks.
Op het eerste gezicht zou men menen dat het een reeks is
in wat wij zouden noemen de toonsoort G-groot, maar dat
is niet juist. De A staat niet een Pythagorassekunde boven
G, maar een zuivere kwint beneden E. Daarom is de A niet
de A van onze toonsoort G-groot, maar de A van onze toonsoort
e-klein, melodisch dalend.
Ten derde kunnen wij dezelfde speciës zo leggen, dat wij
het systema krijgen dat in VI staat. Daarin kan de benedenstem
een melodie spelen, diatonisch tussen c en e', in C-groot,
en contrapuntisch daartegen de bovenstem een melodie,
diatonisch tussen g' en b" in e-klein. Beide stemmen bewegen
zich dan in het diatonische geslacht dat Euler noemde C
durus en zelfs in dezelfde speciës daarvan. Ofschoon, zegt
Euler, dit aan de minder ervarenen (imperitioribus) een gedrochtelijke
fout (ingens vitium) zal toeschijnen, is het volkomen
in overeenstemming met de ware beginselen der harmonie.
Klinkt hier niet reeds een stem - meer dan twee
eeuwen oud - die ons wijst op de mogelijkheid van polytonaliteit?
Die stem gaat door met te zeggen: Op dergelijke wijze
worden verscheidene composities die, niettegenstaande omtrent
hun welluidenheid geen twijfel bestaan kan, de practische
musici paradoxaal toeschijnen, door een beschouwing
van de systemata in het gelijk gesteld en met de ware harmonie verzoend.
Het diatonische geslacht van acht tonen en het
chromatische van negen tonen worden uitgebreid en samengevat
in het genus diatonico-chromaticum van twaalf tonen.
Wij zullen Eulers behandeling van dit geslacht kortheidshalve
niet weergeven. Bij de bespreking van de zuivere harmonische
stemming volgens dit twaalftonige diatonisch-chromatische
geslacht [2m·33·52] maakt
Euler front tegen diegenen, die volhouden dat de ware muziek eerder in de
gelijkheid der intervallen dan in hun eenvoud bestaat. Zelfs verwijt hij hun,
meer zich zelf dan aan de harmonie voldoening te verschaffen, door het oktaaf
in twaalf gelijke delen te snijden. Hij maakt een vergelijking tussen de zuiver
harmonische stemming en de normale halftoonstemming, wijst er op dat op
verscheidene plaatsen de afwijking meer dan een komma bedraagt, hetgeen de
harmonie niet weinig verstoort, en besluit dat die normale halftoonstemming
hoogst strijdig met de harmonie moet geacht worden, al ware het dat grove oren
de afwijking nauwelijks bespeuren.
Over de harmonische zevende zegt Euler in zijn
Tentamen niet veel. Wel zegt hij aanvankelijk dat hij na de
geslachten met de getallen 3 en 5 afgehandeld te hebben,
zal beproeven om de zeven in te voeren, waardoor misschien
enkele nieuwe muzikale geslachten gevormd en nieuwe tot
dusver ongehoorde muziekwerken gemaakt zouden kunnen
worden. Maar hij schijnt daar niet meer aan toe gekomen
te zijn. Wanneer hij zover gevorderd is, zegt hij dat de instrumenten
er niet op ingericht zijn om de intervallen met de
zeven voor te brengen, en citeert Leibniz' gezegde, dat
men in de muziek niet verder dan vijf placht te tellen. Maar
tot meer dan het geslacht
[2m·33·52·7]
uitrekenen en opschrijven komt het niet. Hij doet er niets mee.
Later, toen hij in Berlijn was, waar Frederik de Grote zoveel belangstelling
voor muziek had, hoorde Euler de dominant-septiemakkoorden. Daarop vat hij vlam
en in de Memoires van de Berlijnse Academie van 1764 schrijft hij een artikel:
Du véritable caractère de la Musique moderne. De reden, die d'Alembert en
Rameau zelf geven voor het gebruik van de f in het akkoord g-b-d-f, de
bedoeling namelijk om te doen uitkomen dat men in c speelt en niet in g, vindt
hij te willekeurig gezocht om er veel over te behoeven zeggen. Het is de
zevende harmonische die het oor wil horen en hóórt, zegt hij. Hierin stemt hij
overeen met Tartini (1754), die Euler niet gekend schijnt te hebben, en met
Kirnberger (1774).
In zijn geestdrift gaat Euler nog verder en hij meent ook Rameau's "sixte
ajoutée" als harmonische zevende te moeten interpreteren, f : a : c' : d' = 4 :
5 : 6 : 7 stellende. Hij erkent echter dat dit wel een zeer aanmerkelijke
verplaatsing betekent, en dat, om de verhouding bijna helemaal precies in orde
te hebben, men zou moeten schrijven 4 : 5 : 6 : 7 = F : A : C : dis. Inderdaad,
het komt mij voor dat Euler het doel voorbijschiet. Er is iets gracieus in, dat
hij niet te groot was om ook eens een enkele keer zijn mond voorbij te praten!
Van belang is, dat Eulers uitgangspunt geheel afwijkt van dat zijner
tijdgenoten. Hij begint niet met een fundamentele bas, maar met de volledige
akkoorden. Men denke aan zijn pleidooi voor het grote-septiemakkoord (in die
tijd!) dat ik hierboven heb aangehaald. Juist door die aparte instelling heeft
zijn theorie iets aan onze moderne tijdgenoten te bieden, dat buiten de
traditionele in de muziek gangbare wijze van denken ligt.
A.D. Fokker, 1945
Literatuur
- Bailhache, Patrice. "La Musique
traduite en Mathématiques: Leonhard Euler", Communication au colloque du
Centre François Viète, "Problèmes de traduction au XVIIIe siècle", Nantes, 17
jan. 1997.
- Craats, Jan van de. De Fis van Euler. Aramith Uitgevers, Bloemendaal,
1989, 144 pp.
- Euler, Leonhard. Tentamen novae theoriae musicae. Sint Petersburg,
1739, 263 pp. In Opera Omnia series III volumen I, Teubner, Leipzig,
1926. Franse vertaling Essai d'une nouvelle théorie de la musique, 1839.
Engelse vertaling met inleiding door Charles Samuel Smith, Indiana University,
Bloomington, June 1960, 365 pp.
- Fokker, A.D. Rekenkundige bespiegeling der muziek. Noorduijn,
Gorinchem, 1945, 228 pp.
- Fokker, A.D. en Jan van Dijk. "Expériences musicales
avec les genres musicaux de Leonhard Euler contenant la septième harmonique", 1951.
- Op de Coul, M. Wat is een Euler-Fokker genus?,
2000.
|