Optelakkoorden

In het maartnummer 1960 van Mens en Melodie, schrijvende over het getal der gulden snede (0,6180340...) heeft Géza Frid herinnerd aan de zogenaamde hoofdreeks van Fibonacci. Dit is een rij van getallen waarin elk getal de som is van zijn naaste twee voorgangers, een optelreeks. Men kan bijvoorbeeld beginnen met 1 en nog eens 1, dan komt er: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-... Dit is de zogenaamde hoofdreeks. Men kan even goed met andere getallen beginnen, met 1 en 3, of 1 en 4, enz.: 1-3-4-7-11-18-29-47-... 1-4-5-9-14-23-37-60-...
Men kan met 2 beginnen. Dan komen er weer nieuwe reeksen: 2-5-7-12-19-31-50-... 2-7-9-16-25-41-66-... Zo kan men doorgaan, en onnoemelijk veel optelreeksen verzamelen. Op het eind van al deze reeksen nadert de verhouding de reden van twee opeenvolgende getallen, steeds dichter tot 0,6180340. Terloops merken wij op dat in zulk een optelreeks natuurlijk elk getal ook het verschil is van zijn naaste twee opvolgers, of ook het verschil van zijn opvolger en zijn voorganger.
Voor de musici ligt in die optelreeksen een goudmijn! Elke optelreeks kan immers voorstellen een reeks van tonen, welker frequenties zich verhouden als zijn getallen. In die tonenreeks zal de frequentie van elke toon het verschil (of de som) zijn van de frequenties van twee naburige andere tonen. Het is een bekend fysiologisch verschijnsel dat ons oor, indien het (liefst sterk) door twee tonen geprikkeld wordt, nog een derde toon gewaarwordt, de verschiltoon en vaak, maar dan zwakker nog een vierde toon, de somtoon. Het zal duidelijk zijn, dat in zulk een optelreeks van tonen elk paar naburige tonen een verschiltoon opwekt, die ook in de reeks vertegenwoordigd is. Indien de gehele reeks, of een stuk van de reeks, tegelijk klinkt, dan verhogen die verschiltonen de waarde van het samenklinken in het akkoord. Ik noem zulke akkoorden voor het gemak optelakkoorden. De eenvoudigste daarvan zijn opteldrieklanken. Hoe kan men zulke optelakkoorden noteren? De gewone notatie, met mollen en kruisen schiet te kort. In de optelreeksen vertoont zich al gauw een 13; men ziet er ook een 7, een 11, en zo vele meer. Gelukkig kan men een heel eind komen - en voorlopig praktisch misschien ver genoeg - als men de tekens van Tartini gebruikt voor een halve mol, en voor anderhalve mol, en dan ook een half kruis gebruikt, met maar één stok, en een anderhalf kruis, met drie stokken.
Een hele toonsafstand kan dan in vijf stappen doorlopen worden: met een halve mol, een hele mol, anderhalve mol en dubbele mol, en de vijfde stap naar de toon lager. Omhoog doorloopt men de toonsafstand ook in vijf stappen: met een half kruis, een heel kruis, anderhalf kruis, dubbel kruis, en dan een vijfde stap naar een toon hoger.
Het interval tussen 8 en 13 bijvoorbeeld ligt tussen c:as = 5:8 en c:a = 3:5. Die toon 13 moet dus liggen, uitgaande van c = 8, tussen as en a. Wij zetten een halve mol voor de a en noemen die noot àh (spreek uit als as, maar zonder s). Het interval tussen 8 en 11 ligt tussen c:f = 3:4 en c:fis = 32:45. Wij zetten een half kruis voor de f en noemen die noot fi (spreek uit fis zonder de s). Het interval 4:7 ligt iets beneden het interval c:bes = 9:16. Het is gelijk aan 128:224 en dus praktisch gelijk aan het interval c:ais = 128:225. Indien men het betrekken wil op de gewone septiem, en niet op de sext, dan zet men anderhalve mol voor de b en noemt die noot beseh (spreek uit als beses, maar zonder laatste s).
Aldus voorzien van leestekens kan de lezer de optelakkoorden gaan bekijken. Allereerst de hoofdreeks van Fibonacci. Maar ook de andere boven opgeschreven reeksen. Het spreekt vanzelf dat men die optelakkoorden kan transponeren naar welke grondtoon men maar wil.
Op een bepaalde toon kan men vele opteldrieklanken zetten. Ook kan men vele opteldrieklanken aan een bepaalde toon "ophangen", of opteldrieklanken uitzoeken, die een zelfde middelste toon hebben. Dat kan tot prettige verrassingen leiden. Neem eerst de drieklank 2:3:5.
In het voorbeeld wisselt hij af met de drieklank 3:4:7 en met de drieklank 3:5:8. Dan zet ik de drieklank 3:5:8 in het midden. Deze wordt nu vergezeld door de drieklank 1:2:3 en door de drieklank 5:7:12. Nu komt aan de beurt de drieklank 3:4:7. In het voorbeeld wordt hij begeleid door drieklanken 7:8:15 en door drieklanken 7:11:18.
Tenslotte nog de drieklank 5:7:12 (die zijn eigen grondtoon niet bevat), die in het voorbeeld gekoppeld is aan een drieklank 8:13:21 en een drieklank 5:6:11. Het zijn al te gader opteldrieklanken.
Laat van een opteldrieklank één toon liggen, en de beide andere tezamen naar boven lopen als bovenharmonischen van een vaste grondtoon. Dat paar naar boven lopende tonen vormt dan een steeds kleiner wordend interval. In het eerste voorbeeld wordt vastgehouden de 8, van 2:8:10 tot 8:24:32. In het tweede voorbeeld wordt vastgehouden de 7, van 2:7:9 tot 7:25:32. Op die manier kan men nog vele harmonische convergenties krijgen, die zonder einde doorlopen.

Tegenbeweging krijgt men (en in een eindpunt uitlopende convergentie), indien men in de hoogte een toon als verbindingstoon laat blijven liggen. Die hoge verbindingsnoot behoeft niet gelijkluidend te zijn met de grondtoon.

Het is niet onaardig, ook enkele opteldrieklanken te bekijken met hun satellieten. Satellieten noem ik de opteldrieklanken die ontstaan wanneer, één toon vastliggende, een tweede met kleine, telkens even grote stapjes verandert als gevolg waarvan ook de andere beweeglijke toon met telkens gelijke stapjes verandert.
Neem de drieklank 1:3:4. Wordt de noot 1 vastgehouden, dan moet van de noot 3 elk stapje zijn 4 tegen een stapje ter grootte 3 van de noot 4. Wordt de noot 3 vastgehouden, dan zal de noot 1 een stapje 4 maken tegen elk stapje 1, dat de noot 4 doet. Anders blijft het akkoord geen optelakkoord. Mutatis mutandis geldt iets dergelijks, wanneer de noot 4 wordt vastgehouden. In het notenvoorbeeld ziet men dit aangegeven.

Het centrale akkoord vormt, zoals men ziet, met zijn vier satellieten telkens een rij van dezelfde akkoorden, variërend van 2:5:7 tot 5:18:23, telkens in getransponeerde ligging. Iets dergelijks gaat op voor de drieklank 1:2:3 met zijn satellieten, die op soortgelijke wijze gevormd worden:

Ook hier krijgt men driemaal een rij van vijf akkoorden, die, behoudens transpositie, dezelfde akkoorden zijn, variërend van 4:7:11 door 1:2:3 tot 7:16:23. Om op deze manier satellieten op te schrijven van enkele andere opteldrieklanken, zoals van 2:3:5, is ons notenschrift niet fijn genoeg. De naaste buren die wij met onze dikke tekenstift kunnen afbeelden, hebben wij hierboven reeds ontmoet. Dat zijn niet zozeer ondergeschikte satellieten van een grote planeet - het zijn zelf planeten.
Er zijn subtiele verschillen die ook door de notatie met halve mollen en kruisen niet nader aangegeven kunnen worden. Bijvoorbeeld: de notatie c:b:ges' kan de opteldrieklank betekenen 8:15:23, met grondtoon c. Maar ze kan ook betekenen de opteldrieklank 7:13:20, grondtoon di. De intervallen 8:15 en 7:13 verschillen van elkaar met een reden 104/105. De intervallen 15:23 en 13:20 verschillen met een reden 300/299. De uiterste intervallen 8:23 en 7:20 verschillen met een reden 160/161. Zulke subtiele, subkommatische onderscheiden kunnen wij in de gebruikte notatie met halve mollen en kruisen niet vatten. Het zal trouwens nog wel heel lang duren, voordat onze oren op het onderscheiden van deze intervallen geschoold zullen zijn! Middelerwijl scheppen zulke subtiele onbepaaldheden de gelegenheid tot onverwachte modulaties, bijvoorbeeld van c tot di.
Een soortgelijk voorbeeld, met een drievoudige interpretatie, vindt men in de drieklank c:gis:eï. Deze kan men opvatten als 16:25:41, grondtoon c, behorende tot de reeks 2-7-9-... enz. Men kan hem ook opvatten als 9:14:23, grondtoon bes, en behorende tot het optelakkoord 4-5-9-... enz. Tenslotte kan hij betekenen 7:11:18, grondtoon di, behorende tot het optelakkoord 3-4-7-... enz. Wegens de bijna-niet-onderscheidbaarheid van deze interpretaties kan men hierlangs glad moduleren van bes naar c en di en omgekeerd.

Gedachtig aan de zinspreuk: niet praten, maar doen, laat ik een vierstemmig voorbeeld volgen dat een bekende melodie geeft, geheel in optelakkoorden gezet.

A. D. Fokker, 1960