|
 |
Wat is een Euler-Fokker genus?
Met genus bedoelen we toongeslacht. De Grieken hebben in de oudheid
verschillende toongeslachten onderscheiden. De kwart was het interval tussen de
twee uiterste tonen van het tetrachord. Twee andere tonen verdeelden die
afstand in drie intervallen, op allerlei verschillende manieren. Die
verscheidenheid gaf aanleiding tot een classificatie in geslachten. Er waren
het enharmonische, het chromatische en het diatonische geslacht, of genus.
Bes- 3 F- 3 C- 3 G-
7 7 7 7
C 3 G 3 D 3 A
7 7 7 7
D+ 3 A+ 3 E+ 3 B+
[55777] {C,Cis} kan als volgt geschetst worden:
F 5 A 5 Cis
7 7 7
G+ 5 B+ 5 Dis+
7 7 7
Bes- 5 D- 5 F+
7 7 7
C 5 E 5 Gis
In dit netwerk zijn de horizontale verbindingen grote tertsen, de verticale harmonische septiemen. De tonen worden na het stapelen van de intervallen zoveel octaven naar beneden getransponeerd als nodig om ze binnen de omvang van één octaaf te brengen. Men kan de naam van de grondtoon naar believen kiezen, zoals D+ in het eerste voorbeeld. Deze geslachten zijn toegepast door Alan Ridout. We kunnen dit eerste voorbeeld verder verduidelijken door de frequentieverhoudingen te geven:
0: 1/1 C 0.000 cents
1: 9/8 D 203.910 cents
2: 8/7 D+ 231.174 cents
3: 9/7 E+ 435.084 cents
4: 21/16 F- 470.781 cents
5: 189/128 G- 674.691 cents
6: 3/2 G 701.955 cents
7: 27/16 A 905.865 cents
8: 12/7 A+ 933.129 cents
9: 7/4 Bes- 968.826 cents
10: 27/14 B+ 1137.039 cents
11: 63/32 C- 1172.736 cents
12: 2/1 C 1200.000 cents
Het aantal intervallen dat de basis vormt van een Euler-Fokker genus wordt de graad genoemd. De geslachten [33377] en [55777] zijn geslachten van de vijfde graad. Geslachten van een bepaalde graad hoeven niet allemaal dezelfde hoeveelheid tonen te hebben. Dit hangt ook af van de exponenten van de basisintervallen. ([33355] kan ook genoteerd worden als [3³.5²].) De graad is dus de som van de exponenten. Het aantal tonen verkrijgt men door alle exponenten met één te vermeerderen en daarvan het product te nemen. Dus [3³.5²] heeft (3+1)×(2+1) = 12 tonen. Ook wordt wel [2m.3³.5²] geschreven om de willekeur ten opzichte van het aantal octaven aan te geven, als in de volgende figuur:
Hierin stelt elk lijntje een toon voor in het frequentiespectrum. Zo wordt
het regelmatige en soms ongelijkmatige karakter van de geslachten zichtbaar.
Ze zijn van de derde graad, dus met drie, niet noodzakelijkerwijs verschillende,
genererende factoren. Het tonenrooster van de eerste drie is 1-dimensionaal
(ze hebben één factor), de volgende 2-dimensionaal en alleen de laatste is
3-dimensionaal vanwege de drie verschillende genererende intervallen 3, 5 en 7 -
het octaaf met factor 2 buiten beschouwing latend.
Een Euler-Fokker toongeslacht kan ook worden gedefinieerd als een volledig
vernauwd akkoord. Deze term is van Fokker. De term volledig akkoord
komt van Euler. Een volledig akkoord heeft een grondtoon en een gidstoon, met
daartussen alle tonen die zowel een geheel veelvoud van de grondtoon, als een
deeltal van de gidstoon zijn. De gidstoon is ook een geheel veelvoud van de
grondtoon. Bijvoorbeeld nemen we voor de grondtoon het getal 1, en voor de
gidstoon het getal 12, dan komen in het volledig akkoord de tonen 1, 2, 3, 4, 6
en 12 voor. We kunnen het ook omdraaien en zeggen dat aan een volledig akkoord
geen tonen meer kunnen worden toegevoegd zonder de verhouding tussen de
grondtoon en gidstoon te veranderen. Die verhouding wordt het
spanningsgetal of exponens genoemd (door Euler: Exponens
consonantiae).
Nemen we als ander voorbeeld het volgende volledig akkoord: 1:3:5:15. Dit is
het genus [35] {C,B} van de tweede graad. Brengen we deze tonen binnen de
omvang van één octaaf dan worden ze 1/1, 3/2, 5/4 en 15/8 (C, G, E en B), en
dit is dan een volledig vernauwd akkoord. De 1/1 (C) wordt nu de
plaatsvervangende grondtoon, en 15/8 (B) de plaatsvervangende gidstoon van het
volledig vernauwd akkoord genoemd, identiek aan de grondtoon en gidstoon van
het Euler-Fokker toongeslacht. De vorm van het tonenrooster van een
Euler-Fokker genus of een volledig akkoord is altijd een rechthoek, danwel
rechthoekig parallellepipedum in het 3-dimensionale geval.
Op het Fokker-orgel zijn o.a. de
toongeslachten van de derde graad op het 12-toonsmanuaal voorgeprogrammeerd.
Hoewel de Euler-Fokker genera strict genomen rein gestemd zijn, kunnen ze ook
in de 31-toonsstemming gespeeld worden, omdat de drie basisintervallen er goed
in benaderd worden. De lichte zwevingen maken de klank ervan dan ook wat
levendiger. De grote terts wordt in het 31-toonssysteem gevormd door 10
stapjes, de kwint door 18 stapjes en de harmonische septiem door 25 stapjes.
Manuel Op de Coul, 2000
Literatuur
SoftwareMet het computerprogramma Scala kunnen Euler-Fokker genera van elke willekeurige graad en met willekeurige factoren berekend en geanalyseerd worden.
|
en 
aangeduid. Bes-
(3 stapjes lager dan B) is B
en Cis+ is
C
.
,B}
}