Wat is een Euler-Fokker genus?

Met genus bedoelen we toongeslacht. De Grieken hebben in de oudheid verschillende toongeslachten onderscheiden. De kwart was het interval tussen de twee uiterste tonen van het tetrachord. Twee andere tonen verdeelden die afstand in drie intervallen, op allerlei verschillende manieren. Die verscheidenheid gaf aanleiding tot een classificatie in geslachten. Er waren het enharmonische, het chromatische en het diatonische geslacht, of genus.
Bij de Euler-Fokker genera (d.i. meervoud van genus) gaat het om een ander soort geslachten, maar in dezelfde betekenis van het woord. In de huidige westerse muziek is niet de kwart, maar het octaaf het basis-interval van de toonbetrekkingen. Daarom worden alle voorkomende tonen zoveel octaven als nodig verplaatst om ze binnen de omvang van één octaaf te brengen. De betrekkingen van de intervallen onderling leveren het kenmerk van het geslacht. Een Euler-Fokker genus ontstaat wanneer men vanuit een bepaalde grondtoon door herhaalde toepassing van bepaalde zuivere intervallen een netwerk van tonen vormt. De zuivere intervallen die worden toegepast zijn de basis-intervallen van ons toonstelsel: de reine kwint (frequentieverhouding 2:3, daarom gesymboliseerd door het cijfer '3'), de grote terts (frequentieverhouding 4:5, ofwel '5') en de harmonische septiem (4:7 of '7', duidelijk kleiner dan de gewone kleine septiem en daardoor niet in het gewone 12-toonsstelsel aanwezig). De opbouw van een Euler-Fokker genus wordt aangeduid met behulp van een soort formule, bijvoorbeeld [33377] {D+,G-}. D+ (een stapje hoger dan D) is de grondtoon van het netwerk. Het toongeslacht wordt gevormd door hier tot maximaal drie kwinten en twee harmonische septiemen bij op te tellen. G- (een stapje lager dan G) staat in het netwerk precies diametraal tegenover de D+ en wordt de gidstoon genoemd. De gegeven formule leidt tot het volgende netwerk van tonen, waarin de horizontale verbindingen kwinten voorstellen, de verticale verbindingen harmonische septiemen:


      Bes- 3    F-   3    C-   3    G-
      7         7         7         7
      C    3    G    3    D    3    A
      7         7         7         7
      D+   3    A+   3    E+   3    B+

[55777] {C,Cis} kan als volgt geschetst worden:


      F    5    A    5    Cis
      7         7         7
      G+   5    B+   5    Dis+
      7         7         7
      Bes- 5    D-   5    F+
      7         7         7
      C    5    E    5    Gis

In dit netwerk zijn de horizontale verbindingen grote tertsen, de verticale harmonische septiemen. De tonen worden na het stapelen van de intervallen zoveel octaven naar beneden getransponeerd als nodig om ze binnen de omvang van één octaaf te brengen. Men kan de naam van de grondtoon naar believen kiezen, zoals D+ in het eerste voorbeeld. Deze geslachten zijn toegepast door Alan Ridout. We kunnen dit eerste voorbeeld verder verduidelijken door de frequentieverhoudingen te geven:

 
      0:         1/1          C          0.000 cents
      1:         9/8          D        203.910 cents
      2:         8/7          D+       231.174 cents
      3:         9/7          E+       435.084 cents
      4:        21/16         F-       470.781 cents
      5:       189/128        G-       674.691 cents
      6:         3/2          G        701.955 cents
      7:        27/16         A        905.865 cents 
      8:        12/7          A+       933.129 cents
      9:         7/4          Bes-     968.826 cents
     10:        27/14         B+      1137.039 cents
     11:        63/32         C-      1172.736 cents 
     12:         2/1          C       1200.000 cents

Het aantal intervallen dat de basis vormt van een Euler-Fokker genus wordt de graad genoemd. De geslachten [33377] en [55777] zijn geslachten van de vijfde graad. Geslachten van een bepaalde graad hoeven niet allemaal dezelfde hoeveelheid tonen te hebben. Dit hangt ook af van de exponenten van de basisintervallen. ([33355] kan ook genoteerd worden als [3³.5²].) De graad is dus de som van de exponenten. Het aantal tonen verkrijgt men door alle exponenten met één te vermeerderen en daarvan het product te nemen. Dus [3³.5²] heeft (3+1)×(2+1) = 12 tonen. Ook wordt wel [2m.3³.5²] geschreven om de willekeur ten opzichte van het aantal octaven aan te geven, als in de volgende figuur:

Spectra van genera
Fig.1: Spectra van de genera van de derde graad, illustratie uit Rekenkundige bespiegeling der muziek.

Hierin stelt elk lijntje een toon voor in het frequentiespectrum. Zo wordt het regelmatige en soms ongelijkmatige karakter van de geslachten zichtbaar. Ze zijn van de derde graad, dus met drie, niet noodzakelijkerwijs verschillende, genererende factoren. Het tonenrooster van de eerste drie is 1-dimensionaal (ze hebben één factor), de volgende 2-dimensionaal en alleen de laatste is 3-dimensionaal vanwege de drie verschillende genererende intervallen 3, 5 en 7 - het octaaf met factor 2 buiten beschouwing latend.
Leonhard Euler beschouwde in zijn Proeve ener nieuwe muziektheorie (1739) slechts geslachten (genaamd genus musicum) met genererende factoren 3 en 5. Fokker heeft daar de factor 7 aan toegevoegd en een inventarisatie van de verschillende geslachten gemaakt (1942-1946, 1966). Euler had de mogelijkheid van de factor 7 overigens reeds opgemerkt, maar er verder niks mee gedaan. Men hoeft het niet bij deze drie factoren te laten, een genus kan met een willekeurige combinatie van twee of meer priemfactoren worden gemaakt.

Een Euler-Fokker toongeslacht kan ook worden gedefinieerd als een volledig vernauwd akkoord. Deze term is van Fokker. De term volledig akkoord komt van Euler. Een volledig akkoord heeft een grondtoon en een gidstoon, met daartussen alle tonen die zowel een geheel veelvoud van de grondtoon, als een deeltal van de gidstoon zijn. De gidstoon is ook een geheel veelvoud van de grondtoon. Bijvoorbeeld nemen we voor de grondtoon het getal 1, en voor de gidstoon het getal 12, dan komen in het volledig akkoord de tonen 1, 2, 3, 4, 6 en 12 voor. We kunnen het ook omdraaien en zeggen dat aan een volledig akkoord geen tonen meer kunnen worden toegevoegd zonder de verhouding tussen de grondtoon en gidstoon te veranderen. Die verhouding wordt het spanningsgetal of exponens genoemd (door Euler: Exponens consonantiae). Nemen we als ander voorbeeld het volgende volledig akkoord: 1:3:5:15. Dit is het genus [35] {C,B} van de tweede graad. Brengen we deze tonen binnen de omvang van één octaaf dan worden ze 1/1, 3/2, 5/4 en 15/8 (C, G, E en B), en dit is dan een volledig vernauwd akkoord. De 1/1 (C) wordt nu de plaatsvervangende grondtoon, en 15/8 (B) de plaatsvervangende gidstoon van het volledig vernauwd akkoord genoemd, identiek aan de grondtoon en gidstoon van het Euler-Fokker toongeslacht. De vorm van het tonenrooster van een Euler-Fokker genus of een volledig akkoord is altijd een rechthoek, danwel rechthoekig parallellepipedum in het 3-dimensionale geval.
De wiskundige benaming van de grondtoon is de grootste gemene deler van de frequenties van de tonen. De gidstoon is het kleinste gemene veelvoud ervan.

Op het Fokker-orgel zijn o.a. de toongeslachten van de derde graad op het 12-toonsmanuaal voorgeprogrammeerd. Hoewel de Euler-Fokker genera strict genomen rein gestemd zijn, kunnen ze ook in de 31-toonsstemming gespeeld worden, omdat de drie basisintervallen er goed in benaderd worden. De lichte zwevingen maken de klank ervan dan ook wat levendiger. De grote terts wordt in het 31-toonssysteem gevormd door 10 stapjes, de kwint door 18 stapjes en de harmonische septiem door 25 stapjes.
Met de bovenstaande notatie met + (1 stapje hoger) en - (een stapje lager) worden 31-toonsstapjes bedoeld. In Fokkers notatiesysteem wordt dit met respectievelijk en aangeduid. Bes- (3 stapjes lager dan B) is B en Cis+ is C.
Er zijn 10 toongeslachten van de derde graad:

[333] {C,A}C - D - G - A
[335] {F,B}F - G - A - B - C - E
[355] {A,B}A - B - C - E - E - G
[357] {C,A}C - D - E - F - G - A - B - B
[377] {C,D}C - D - F - G - G - B
[555] {C,B}C - E - G - B
[557] {A,D}A - B - C - D - E - G
[337] {C,C}C - D - F - G - B - C
[577] {C,B}C - D - E - G - B - B
[777] {C,F}C - F - G - B

Manuel Op de Coul, 2000

Literatuur

Software

Met het computerprogramma Scala kunnen Euler-Fokker genera van elke willekeurige graad en met willekeurige factoren berekend en geanalyseerd worden.