Over zuivere intonatie. Het levenswerk van prof. dr. A. D. Fokker

Aan prof. dr. A. D. Fokker, die in augustus 1967 de 80-jarige leeftijd bereikte, komt de grote verdienste toe de inzichten van figuren als Zarlino, Vicentino, Christiaan Huygens en Leonhard Euler te hebben uitgewerkt en gebundeld. Fokkers ideen omtrent zuivere intonatie, die hun neerslag vonden in de 31-toonstemming, leidden ertoe dat in 1950 door de firma B. Pels en Zoon (Alkmaar) een 31-toonorgel gebouwd werd, dat geplaatst werd in het Teylermuseum te Haarlem. Daar vinden op de eerste zondag van de maand (uitgezonderd in januari en februari) bespelingen plaats, die georganiseerd worden door de Stichting Huygens-Fokker, welke een voortzetting is van de in 1960 opgerichte Stichting Nauwluisterendheid. De Stichting Huygens-Fokker (secretariaat: Zieseniskade 7 III te Amsterdam) stelt zich ten doel, begrip te wekken voor de grotere zuiverheid, welke met het toepassen van de 31-toonstemming (een stemming met zuivere tertsen en zuivere, natuurlijke septiemen) wordt bereikt. De belangstelling voor de 31-toonstemming neemt voortdurend toe, ook in het buitenland, maar vaak blijkt de gedachtengang, welke eraan ten grondslag ligt vele musici en muziekgenteresseerden nog vreemd te zijn. Wij menen er goed aan te doen, deze gedachtengang, welke heus niet ontoegankelijk behoeft te zijn (en die in de muziekpraktijk van grote betekenis kan zijn en verhelderend kan werken), eens in kort bestek uiteen te zetten.

Het menselijk oor ervaart een interval als "zuiver" wanneer er geen zwevingen te horen zijn. De natuurkunde leert ons dat zulk een zwevingvrij interval bestaat uit twee tonen waarvan de trillingsgetallen aan een eenvoudige getalsverhouding beantwoorden. Bij een zuiver oktaaf is deze getalsverhouding 1:2, bij een zuivere kwint 2:3, bij een zuivere kwart 3:4, bij een zuivere grote terts 4:5, bij een zuivere kleine terts 5:6, bij een zuivere grote sext 3:5, bij een zuivere kleine sext 5:8, etcetera. Alle tonen waarmee deze intervallen kunnen worden gemaakt kunnen door bespelers van strijkinstrumenten eenvoudig ten gehore worden gebracht, namelijk als natuurlijke flageolettonen.
Met behulp van speciale tekens (halve mollen, anderhalve mollen, en halve kruisen, waarover straks meer) kunnen de eerste 15 flageolettonen, bijvoorbeeld van de C-snaar van de cello, als volgt genoteerd worden:

voorbeeld 1: boventoonreeks

De laagst genoteerde toon is de grondtoon of eerste harmonische; de andere tonen (vaak boventonen genoemd) zijn de tweede, de derde harmonischen etcetera, Deze harmonischen kunnen (misschien met uitzondering van de laagste) ook door bespelers van koperen blaasinstrumenten worden weergegeven. Ook intervallen die in onze westerse muziek niet worden erkend, zoals die waarbij de zevende of de elfde harmonische zijn betrokken, klinken ons zuiver in de oren, omdat ook hierbij geen zwevingen te horen zijn. Wij noemen in dit verband de infraterts (6:7), de supraseconde (7:8), en de harmonische septiem (4:7). voorbeeld 2: kwintenstapeling

Uitgaande van bijvoorbeeld de losse c-snaar van de altviool kunnen wij op verschillende manieren een e-tweegestreept (losse e-snaar der viool) bereiken: a. door opeenstapeling van vier kwinten:

(Dit zijn dus de tonen, geproduceerd door de losse snaren van alt en viool); b. door de vijfde harmonische van de c-snaar der altviool te spelen:
voorbeeld 3

De beide bereikte e's nu zijn niet gelijk van toonhoogte; het interval tussen losse c-snaar en losse e"-snaar doet ons oor onaangenaam aan: de e"-snaar komt ons te hoog voor. De vijfde harmonische van de c-snaar is lager.

Een kleine berekening leert ons dat de losse e"-snaar een trillingsgetal heeft van 3/2 × 3/2 × 3/2 × 3/2 = 81/16 maal het trillingsgetal van de c-snaar; de vijfde harmonische van de c-snaar heeft echter een trillingsgetal van 5 (= 80/16) maal het trillingsgetal van de c-snaar.

Het verschil in toonhoogte tussen de beide e"'s (uitgedrukt door de verhouding 80/81 der trillingsgetallen) is het zogenaamde syntonische komma. In de praktijk van het musiceren ontmoet men met dit komma moeilijkheden. Wij zagen in het bovenstaande reeds, dat op strijkinstrumenten die in zuivere kwinten zijn gestemd, de losse c- en e-snaren geen zuiver interval vormen. Ieder strijkkwartet zal dit gemakkelijk kunnen constateren. Maar ook op een in zuivere kwinten gestemde viool bijvoorbeeld is het akkoord:
voorbeeld 4 voorbeeld 5 onmogelijk zuiver te spelen: f de sekst en de kwint worden zuiver gespeeld (dan is de kwart een komma te groot) f men maakt die kwart en de kwint daaronder zuiver, en dan wordt de sekst een komma te groot. Een soortgelijk verschijnsel ontmoeten wij bij het spelen van:
Moeilijkheden met het komma als de hier gesignaleerde hebben in de geschiedenis een grote rol gespeeld. Wij komen daar straks nog op terug.

Wat gebeurt er nu wanneer wij in plaats van zuivere kwinten, bijvoorbeeld zuivere grote tertsen opn gaan stapelen? Indien men drie grote tertsen op elkaar stapelt, ontmoet men een ander zeer klein interval. Op twee violen is dit eenvoudig te demonstreren, als volgt:

voorbeeld 6

Bij bovenstaande proe stellen wij (waarschijnlijk tot veler verbazing) vast dat, uitgaande van zuivere (zwevingvrije) grote tertsen, er een zeer duidelijk toonhoogteverschil bestaat tussen bes en ais of, algemener gezegd: tussen al die tweetallen van tonen die gewoonlijk enharmonisch verwisselbaar genoemd worden, met dien verstande dat de bes hoger ligt dan de ais, de des hoger dan cis, enz.

Iedere terts betekent een trillingsgetalsverhouding 4:5. In bovenstaand voorbeeld heeft dus de bereikte ais' een trillingsgetal van 5/4 × 5/4 × 5/4 = 125/64 maal het trillingsgetal van de bes waarvan wij uitgingen. De bes' echter (de laatste noot in de eerste viool) heeft een trillingsgetal van 2 (= 128/64) maal dat van de bes waarvan wij uitgingen. Het intervalletje ais' - bes' beantwoordt dus aan de trillingsgetalsverhouding 125:128.

Het interval tussen bes en ais blijkt groter te zijn dan het komma, en wel bijna tweemaal zo groot. Het wordt de kleine dize genoemd.

Ook bij de opeenstapeling van vier zuivere kleine tertsen vinden we een soortgelijk toonhoogteverschil tussen twee zogenaamde enharmonisch verwisselbare tonen; weer is bes hoger dan ais enz.

De meeste musici zijn van mening dat een bes lager moet klinken dan een ais. Niettemin hebben wij hierboven gezien dat onomstotelijk, gerekend naar zuivere grote tertsen, die mening op een dwaling berust. Hun dwaling is deze, dat in plaats van met consonante zuivere tertsen te werken, zij met te grote dissonante, zogenaamde Pythagoras-tertsen rekenen. Deze zijn een komma groter.
Een berekening leert ons dat een dize ongeveer n tiende deel is van een grote terts (om precies te zijn 1,06/10), met andere woorden dat een grote terts 10 dizes groot is. Dit feit nu brengt ons rechtstreeks naar de oktaafverdeling in 31 dizes:

      bes ---------- d' ---------- fis' ---------- ais' - bes'
         (10 dizes)    (10 dizes)    (10 dizes)  (1 dize)

Om zoals bij normaal gestemde klavierinstrumenten het verschil in toonhoogte tussen bes en ais weg te moffelen moet men (dat volgt uit het bovenstaande) de drie grote tertsen bes-d, d-fis en fis-ais elk n derde deel van een dize te groot stemmen, dat is 3,6% van een grote terts. Voor geoefende oren is duidelijk te horen dat inderdaad op de klavierinstrumenten alle grote tertsen te groot zijn. In de 31-toonstemming is dit niet het geval: de grote tertsen klinken hierin prachtig zuiver.
Wij komen nu even terug op de moeilijkheden in verband met het komma die wij ontmoetten, toen wij vier kwinten op elkaar stapelden (notenvoorbeeld 2). Om deze moeilijkheden te vermijden zouden wij de vier kwinten elk een kwart komma kleiner kunnen maken, dat is ongeveer 0,75% van de kwint. Het interval c-e" zou dan zuiver zijn. Inderdaad is dit de manier, in de 31-toonstemming toegepast, om de merkbare onzuiverheden waartoe de zuivere kwinten ons om zo te zeggen dwingen (zie de notenvoorbeelden 4 en 5) te verminderen tot onmerkbare, althans niet hinderlijke, praktisch onmerkbare onzuiverheden.
Deze gang van zaken is trouwens niet nieuw: Zarlino beval in zijn Dimostrationi Harmoniche (1571) reeds aan, op klavierinstrumenten de kwinten 1/4 komma kleiner te stemmen, waardoor zuivere grote tertsen werden verkregen. Deze stemming (de middentoonstemming) is tot ongeveer 1700 algemeen gebruikt en geroemd om haar welluidendheid.

In Sir James Jeans' Science and Music (Ned. vert. dr. E.J. Dijksterhuis) lezen wij (pag. 166) dat de aanvaarding van de gelijkzwevende stemming (beter gezegd: de evenredige stemming) slechts heel langzaam kwam vooral in Engeland; pas in het midden der 19de eeuw begon men de Engelse piano's volgens het nieuwe systeem te stemmen, en bij geen van de Engelse orgels op de grote tentoonstelling van 1851 was het toegepast.

De reden waarom op den duur de middentoonstemming toch is verdrongen door de evenredige stemming is dan ook uitsluitend gelegen in het feit dat men in de middentoonstemming niet onbeperkt kan moduleren en niet in alle toonsoorten kan spelen. De 31-toonstemming is op te vatten als een "uitgebouwde" middentoonstemming met toetsen voor cis n voor des, voor gis n voor as, enz., en combineert dus de voordelen van welluidendheid en onbeperkte mogelijkheid tot moduleren.

Het is interessant te weten dat reeds in de 16de eeuw de componist Nicola Vicentino (1511-1572?), leerling van Adr. Willaert, trachtte een zogenaamd archicembalo te vervaardigen met 31 toetsen per oktaaf!

Van groot belang is deze middentoonstemming speciaal bij strijkinstrumenten. Men stemt daarbij het instrument z, dat alle kwinten gevormd door de losse snaren een tikje kleiner zijn, haast onmerkbaar voor het oor. (Bij de in kwarten gestemde contrabas moeten de kwarten juist een tikje groter worden gemaakt.) Het Hongaars Strijkkwartet doet dit, en iets dergelijks wordt vermeld van Pablo Casals (R. von Tobel, P.C.). Intonatiemoeilijkheden zoals in de notenvoorbeelden 2, 3 en 4 van dit artikel zijn door deze manier van stemmen opgelost.

De notatie en benaming der noten in de 31-toonstemming is als volgt: Een grote terts (10 dizes) wordt verdeeld in twee grote secondes, elk van 5 dizes:

voorbeeld 7

De eerste maal, dat de verdeling van de grote seconde in vijf stappen wordt aanbevolen, vinden wij reeds in de verhandelingen van Marchettus van Padua (begin 14de eeuw), een muziek-theoreticus ten tijde der Ars Nova!

De vijf stappen van c naar d worden als volgt genoteerd met half kruis, kruis, anderhalf kruis en dubbelkruis:

voorbeeld 8

De genoteerde noten worden respectievelijk genoemd: c - ci - cis - cisi - cisis - d.
Om verschillende redenen is het nuttig ook een notatie met halve, hele, anderhalve mollen en dubbelmollen te gebruiken. Wij krijgen dan, in dalende lijn:

voorbeeld 9

Deze noten worden respectievelijk genoemd: d - dh - des - desh - deses - c. De volgende notenparen uit bovenstaande voorbeelden zijn identiek: ci = deses; cis = desh; cisi = des; cisis = dh.
Een kleine seconde wordt verdeeld in drie stappen:

voorbeeld 10

De namen van bovenstaande noten zijn: b - bi - bis - c; en c - ch - ces - b. Identiek zijn: bi = ces; bis = ch.

Bij de 31-deling van het oktaaf kunnen bijna alle ons bekende intervallen aanmerkelijk zuiverder worden getroffen dan bij de 12-deling. Er wordt verschil gemaakt tussen grote en kleine halve tonen (diatonische, respectievelijk chromatische halve tonen, 3 respectievelijk 2 dizes groot). Componisten die zich met de 31-toonschaal bezighouden moeten zich dus terdege rekenschap geven of ze cis of des, gis of as, enz. bedoelen, en dit goed noteren, want het toonhoogteverschil tussen deze noten komt hier tot zijn recht.
Hoe staat het nu met de tot dusverre in de westerse muziek niet erkende intervallen die tot stand komen met de 7de, 11de en 13de harmonische (zie notenvoorbeeld 1)? Een berekening leert ons dat speciaal de 7de harmonische (de natuurlijke septiem van de grondtoon) in de 31-toonstemming bijzonder goed wordt getroffen. Ook de 11de harmomsche kan in de 31-toonstemming redelijk goed worden weergegeven, aanmerkelijk beter bijvoorbeeld dan de grote terts in de gebruikelijke 12-toonstemming!
In de hierna volgende schematische voorstelling treft u twee horizontale lijnen aan, beide een oktaaf, met verdelingen in 12, respectievelijk 31 gelijke stappen. De verticale lijnen geven de nauwkeurige plaatsen aan van de zuivere grote terts, de zuivere kwint en de zuivere natuurlijke septiem.


Voor componisten die de moeite nemen zich in deze materie te verdiepen, liggen in de 31-toonstemming een overstelpende hoeveelheid mogelijkheden. Deze stemming biedt bijvoorbeeld de mogelijkheid exotische intervallen (en dus ook exotische melodien en harmonien) weer te geven, zoals die welke worden toegepast bij de verschillende soorten van gamelan (namelijk de supraseconde 7:8, 6 dizes groot), de doedelzakmuziek (het interval 10:11, iets kleiner dan onze grote seconde, 4 dizes groot), de Arabische muziek (met de zogenaamde midgrote terts, dat is een interval juist tussen grote en kleine terts gelegen, 9 dizes groot), enz. enz. - Inderdaad vele mogelijkheden om aan het 12-toonkeurslijf te ontsnappen!
De geniale Zwitserse mathematicus Leonhard Euler (1707-1783) heeft ons een weg gewezen, hoe het tonenmateriaal kan worden geordend (de toongeslachten van Euler). Het zou ons te ver voeren hier in dit bestek nader op in te gaan. Professor Fokker ijvert er reeds jaren voor zijn ideen en de toepassing daarvan in wijde kring bekend te maken. Hij vond organisten bereid, om zich de speciale techniek, verbonden aan het ingewikkelde toetsenbord van het Haarlemse 31-toonorgel eigen te maken (de eerste was Paul Chr. van Westering; thans is Anton de Beer de expert op deze klaviatuur), doch hij heeft ook strijkers en vocalisten voor de praktijk van de 31-toonstemming weten te winnen. Op zijn instigatie zijn verscheidene componisten "31-toonmuziek" gaan schrijven. In de loop der jaren is een vrij omvangrijke literatuur van een zestigtal werken op dit gebied ontstaan, waarvan wij een beknopt overzicht laten volgen.

Literatuur

Henk Badings schreef tweemaal een Preludium en Fuga, alsmede een reeks kleine stukken voor het 31-toonorgel. Voorts componeerde hij in de 31-toonstemming driemaal een Sonate voor twee violen en een a-cappella-koor Contrasten. Anton de Beer ontwierp een tweedelige Methode voor 31-toonklavier, alsmede een Sonate, een Sonatine en enige Kleine speelstukken. Jan van Dijk schreef tweemaal een Musica voor 31-toonorgel, twee a-cappella-koren (Deuntje en Hymne), een Concerto voor trombone, viool en violoncel, Vier harmonisch, melodische Intonatie-oefeningen voor strijkkwartet en Vierstemmige intonatie-oefeningen voor gemengd koor a cappella. Jaap Geraedts schreef Zes Studies in Eulers toongeslachten voor fluit en voor twee fluiten. Anthon van der Horst componeerde een Suite voor 31-toonorgel. Professor Fokker vervaardigde zelf onder het pseudoniem Arie de Klein onder meer Zes Bagatellen op tien toetsen, Kalenderblaadjes in de kringloop van acht, een Passacaglia, Kringspiegelingen en In generibus Leonhardi Euleri. Hans Kox schreef Drie stukken voor vioolsolo, Vues des Anges voor viool en bariton, Vier stukken voor strijkkwartet, een Passacaglia en Koraal voor 31-toonorgel en Vier didactische stukken voor twee trompetten en trombone. Bouw Lemkes stelde Intonatie-oefeningen samen voor twee violen in de 31-toonstemming. Peter Schat schreef een Collage voor 31-toonorgel. Naast deze Nederlandse bijdragen zijn er nog composities van Eugen Frischknecht, Joel Mandelbaum, Alan Ridout en Ivan Wyschnegradsky.
Professor Fokker heeft ook in buitenlandse muziektijdschriften veel over de stemmingsproblemen gepubliceerd. In boekvorm verschenen van zijn hand: Les mathmatiques et la musique (Den Haag, 1941), Rekenkundige bespiegeling der muziek (Gorinchem, 1945), Just intonation (Den Haag, 1949), Recherches musicales thoriques et pratiques (Den Haag, 1951), Oor en Stem, een bundel solfge-oefeningen (Amsterdam, 1964) en Neue Musik mit 31 Tnen (Dsseldorf, 1966).

Bouw Lemkes, 1968